Sejam
e
v.a.s i.i.d. com distribuição comum
. Considere
e
.
Mostre que
e
também são independentes e ambas com distribuição
.
Mostre que
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: temos duas variáveis aleatórias independentes X e Y, cada uma com distribuição normal padrão N(0,1). Definimos
O que a gente precisa mostrar é que U e V também são normais padrão (N(0,1) cada) e independentes.
Conteúdo usado: teoria de combinações lineares de variáveis normais (que continuam normais), cálculo de esperança e variância, covariância e a propriedade de que, no caso normal conjunto, covariância zero implica independência.
Conteúdo usado: teoria de combinações lineares de variáveis normais (que continuam normais), cálculo de esperança e variância, covariância e a propriedade de que, no caso normal conjunto, covariância zero implica independência.
Passo 2
Primeiro, vamos ver que U é N(0,1).
- Esperança:
- Variância: como X e Y são independentes, Cov(X,Y)=0, e Var(aX + bY) = a^2 Var(X) + b^2 Var(Y) + 2ab Cov(X,Y).
Então U ~ N(0,1).
Do mesmo jeito:
logo V ~ N(0,1).
Passo 3
Falta mostrar independência. Num vetor normal (X,Y) → (U,V) é uma transformação linear, então (U,V) é conjunto normal bivariado.
Basta provar Cov(U,V)=0:
Basta provar Cov(U,V)=0:
Como E[X2]=Var(X)+E[X]2=1, mesmo pra Y, e E[XY]=0, isso dá
Num caso normal conjunto, covariância zero significa que são independentes.
Resposta
U e V são independentes e cada uma tem distribuição N(0,1).