Sejam X e Y v.a.s i.i.d. com distribuição comum N(0,1). Considere U=X+Yraiz2 e V=X-Yraiz2.
Mostre que U e V também são independentes e ambas com distribuição N(0,1).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: temos duas variáveis aleatórias independentes X e Y, cada uma com distribuição normal padrão N(0,1). Definimos
U = X + Yraiz2 e V = X - Yraiz2
O que a gente precisa mostrar é que U e V também são normais padrão (N(0,1) cada) e independentes.
Conteúdo usado: teoria de combinações lineares de variáveis normais (que continuam normais), cálculo de esperança e variância, covariância e a propriedade de que, no caso normal conjunto, covariância zero implica independência.

Passo 2

Primeiro, vamos ver que U é N(0,1).
  1. Esperança:
E[U] = E!l[X+Yraiz2r] = E[X] + E[Y]raiz2 = 0 + 0raiz2 = 0
  1. Variância: como X e Y são independentes, Cov(X,Y)=0, e Var(aX + bY) = a^2 Var(X) + b^2 Var(Y) + 2ab Cov(X,Y).
Então U ~ N(0,1).
Do mesmo jeito:
logo V ~ N(0,1).

Passo 3

Falta mostrar independência. Num vetor normal (X,Y) → (U,V) é uma transformação linear, então (U,V) é conjunto normal bivariado.
Basta provar Cov(U,V)=0:
Como E[X2]=Var(X)+E[X]2=1, mesmo pra Y, e E[XY]=0, isso dá
Num caso normal conjunto, covariância zero significa que são independentes.

Resposta

U e V são independentes e cada uma tem distribuição N(0,1).

Exercícios relacionados