Sejam X e Y v.a.s i.i.d. com distribuição comum N(0,1). Considere U=X+Yraiz2 e V=X-Yraiz2.
Determine a densidade conjunta de U e V.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz assim: X e Y são variáveis aleatórias independentes e cada uma tem distribuição normal padrão U = X + Yraiz2, V = X - Yraiz2 . A gente define
fU,V(u,v) = fX,Yl(x(u,v),y(u,v)r),l|det Jr|,
O que ele quer? A densidade conjunta .
Conteúdo: transformação de variáveis contínuas e cálculo de jacobiano. Vamos usar a fórmula
onde é a matriz jacobiana da inversa da transformação.

Passo 2

Primeiro, a inversa da transformação: a gente resolve para X = U + Vraiz2, Y = U - Vraiz2 e fX,Y(x,y) = 12piexpl(-tfracx^2+y^22r), em função de .
Temos
Também sabemos que a densidade conjunta original de é
porque são independentes e cada um é .

Passo 3

Agora calculamos o jacobiano da transformação J = partial x/partial u & partial x/partial v partial y/partial u & partial y/partial v = 1/raiz2 & 1/raiz2 1/raiz2 & -1/raiz2 .
A matriz jacobiana det J = 1raiz2cdotl(-1raiz2r) - 1raiz2cdot1raiz2 = -12 - 12 = -1 tem entradas
O determinante é
Como a gente usa o valor absoluto, .

Passo 4

Agora monta a densidade de fU,V(u,v) = fX,Yl(x(u,v),y(u,v)r),l|det Jr| :
fU,V(u,v) = 12piexp!l(-tfrac12l[x^2+y^2r]r) = 12piexp!l(-tfrac12(u^2+v^2)r),
Substituindo e na densidade de e lembrando ,
porque dá para mostrar que .

Resposta

boxed,fU,V(u,v) = 12piexp!gl(-u^2+v^22gr), u,vinR

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