Uma carga pontual
está localizada na origem de um sistema de coordenadas esféricas. Em volta dela foi fechada uma casca esférica de raio
com distribuição de cargas uniforme
de carga elétrica total
. Sendo a permissividade abosoluta no meio dada por
determine o vetor campo elétrico nos pontos localizados, respectivamente, em
e
.
de carga elétrica total
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede isso:
- Há uma carga pontual
localizada na origem. - Em volta dela existe uma casca esférica de raio
(casca fina, localizada exatamente em ) com distribuição de carga uniforme e carga total . - A permissividade absoluta do meio é
. - Perguntas: determinar o vetor campo elétrico nos pontos com
-
(dentro da casca, isto é, em qualquer ponto cuja distância à origem é menor que ), -
(fora da casca, distância maior que ).
-
Passo 2
Comentário sobre a simetria do problema (muito importante antes de calcular): a configuração (carga pontual no centro + casca esférica uniforme) é esfericamente simétrica em relação à origem. Isso significa duas coisas úteis para o campo elétrico:
- A direção do campo elétrico em qualquer ponto radialmente distante
deve ser radial (ou seja, paralelo ao versor ): não há motivo para existir componente tangencial porque uma rotação qualquer do sistema deixa tudo igual. - O módulo do campo elétrico só pode depender de
(a distância ao centro), não da direção angular. Então podemos escrever , com um escalar.
Essa constância de
sobre uma esfera centrada na origem é a peça-chave para usar a próxima ferramenta.
Passo 3
Apresento a lei de Gauss (forma integral) e explico cada termo:
- O lado esquerdo é o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada
. -
é o elemento de área vetorial (em uma superfície esférica centrada na origem, ). -
é a carga total contida no volume limitado por . -
é a permissividade do meio (dada).
Para aproveitar a simetria escolhemoscomo uma esfera de raio centrada na origem. Nessa esfera é paralelo a e tem módulo constante , então o fluxo fica
Assim a lei de Gauss reduz-se à relação simples
Resolvendo para
teremos
Agora só falta determinar
nos dois casos
e
.
Passo 4
Caso
(superfície gaussiana totalmente dentro da casca):
- A casca está localizada exatamente em
. Uma esfera de raio não envolve a casca, então a única carga dentro da superfície é a carga pontual no centro, .
Logo
Substituindo em
obtemos o módulo do campo:
Como o campo é radial e aponta para fora (carga positiva), a forma vetorial é
Passo 5
Caso
(superfície gaussiana que envolve a casca):
- Agora a superfície de raio
envolve tanto a carga pontual quanto toda a carga da casca . Portanto a carga total dentro é
Substituindo em Gauss:
Logo o campo vetorial fora da casca é
Passo 6
Checagem física (opcional, mas útil para entender): a casca tem densidade superficial de carga
Existe uma descontinuidade radial do campo ao atravessar uma superfície com densidade superficial
dada por
Aqui
(valor para
) e
(valor para
avaliado em
), então
o que é consistente — ótima verificação.