Uma carga pontual +Q está localizada na origem de um sistema de coordenadas esféricas. Em volta dela foi fechada uma casca esférica de raio r=a com distribuição de cargas uniforme
de carga elétrica total -Q. Sendo a permissividade abosoluta no meio dada por \epsilon determine o vetor campo elétrico nos pontos localizados, respectivamente, em r<a e r>a.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isso:
  • Há uma carga pontual +Q localizada na origem.
  • Em volta dela existe uma casca esférica de raio a (casca fina, localizada exatamente em r=a) com distribuição de carga uniforme e carga total -Q.
  • A permissividade absoluta do meio é \epsilon.
  • Perguntas: determinar o vetor campo elétrico nos pontos com
    • r<a (dentro da casca, isto é, em qualquer ponto cuja distância à origem é menor que a),
    • r>a (fora da casca, distância maior que a).

Passo 2

Comentário sobre a simetria do problema (muito importante antes de calcular): a configuração (carga pontual no centro + casca esférica uniforme) é esfericamente simétrica em relação à origem. Isso significa duas coisas úteis para o campo elétrico:
  • A direção do campo elétrico em qualquer ponto radialmente distante r deve ser radial (ou seja, paralelo ao versor \hat{r}): não há motivo para existir componente tangencial porque uma rotação qualquer do sistema deixa tudo igual.
  • O módulo do campo elétrico só pode depender de r (a distância ao centro), não da direção angular. Então podemos escrever \mathbf{E}(\mathbf{r}) = E(r)\,\hat{r}, com E(r) um escalar.
Essa constância de E sobre uma esfera centrada na origem é a peça-chave para usar a próxima ferramenta.

Passo 3

Apresento a lei de Gauss (forma integral) e explico cada termo:
\oint_{S} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon}.
  • O lado esquerdo é o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada S.
  • d\mathbf{A} é o elemento de área vetorial (em uma superfície esférica centrada na origem, d\mathbf{A}=\hat{r}\,dA).
  • Q_{\text{enc}} é a carga total contida no volume limitado por S.
  • \epsilon é a permissividade do meio (dada).
    Para aproveitar a simetria escolhemos S como uma esfera de raio r centrada na origem. Nessa esfera \mathbf{E} é paralelo a d\mathbf{A} e tem módulo constante E(r), então o fluxo fica
\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\oint_{S} dA = E(r)\,4\pi r^{2}.
Assim a lei de Gauss reduz-se à relação simples
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon}.
Resolvendo para E(r) teremos
E(r)=\frac{Q_{\text{enc}}}{4\pi\epsilon r^{2}}.
Agora só falta determinar Q_{\text{enc}} nos dois casos r<a e r>a.

Passo 4

Caso r<a (superfície gaussiana totalmente dentro da casca):
  • A casca está localizada exatamente em r=a. Uma esfera de raio r<a não envolve a casca, então a única carga dentro da superfície é a carga pontual no centro, +Q.
    Logo
Q_{\text{enc}}=+Q.
Substituindo em E(r)=\dfrac{Q_{\text{enc}}}{4\pi\epsilon r^{2}} obtemos o módulo do campo:
E(r)=\frac{Q}{4\pi\epsilon r^{2}}\quad\text{para }r<a.
Como o campo é radial e aponta para fora (carga positiva), a forma vetorial é
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{Q}{4\pi\epsilon r^{2}}\,\hat{r}\quad\text{para }r<a.

Passo 5

Caso r>a (superfície gaussiana que envolve a casca):
  • Agora a superfície de raio r>a envolve tanto a carga pontual +Q quanto toda a carga da casca -Q. Portanto a carga total dentro é
Q_{\text{enc}}=+Q + (-Q)=0.
Substituindo em Gauss:
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{0}{\epsilon}=0 \quad\Rightarrow\quad E(r)=0.
Logo o campo vetorial fora da casca é
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\mathbf{0}\quad\text{para }r>a.

Passo 6

Checagem física (opcional, mas útil para entender): a casca tem densidade superficial de carga
\sigma=\frac{-Q}{4\pi a^{2}}.
Existe uma descontinuidade radial do campo ao atravessar uma superfície com densidade superficial \sigma dada por
E_{\text{out}}-E_{\text{in}}=\frac{\sigma}{\epsilon}.
Aqui E_{\text{out}}=0 (valor para r>a) e E_{\text{in}}=Q/(4\pi\epsilon a^{2}) (valor para r<a avaliado em r=a), então
0-\frac{Q}{4\pi\epsilon a^{2}}=\frac{-Q}{4\pi\epsilon a^{2}}=\frac{\sigma}{\epsilon},
o que é consistente — ótima verificação.

Resposta

\displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{Q}{4\pi\epsilon r^{2}}\,\hat{r}\quad\text{para }r<a.\n \displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r})=\mathbf{0}\quad\text{para }r>a.

Exercícios relacionados