Uma linha uniforme de cargas cuja densidade vale
, situa-se ao longo do eixo x. Determine o vetor densidade de fluxo elétrico
no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o vetor densidade de fluxo elétrico
no ponto
causado por uma linha uniforme de carga situada ao longo do eixo
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Densidade linear de carga:
. - A linha de cargas coincide com o eixo
(ou seja, a carga está distribuída ao longo de toda a reta -axis). - Ponto onde queremos
: . - Unidade do resultado desejado: densidade de fluxo
(unidade no SI: ).
Passo 2
Qual é a equação que usamos para
e por que?
A lei integral de Gauss para (forma integral) diz que o fluxo de
através de uma superfície fechada é igual à carga livre contida nessa superfície:
A lei integral de Gauss para
Aqui:
-
é o vetor densidade de deslocamento elétrico (o que pedem). -
é o elemento de área com direção normal à superfície. -
é a carga livre total dentro da superfície.
Para uma linha de carga infinita e uniforme ao longo do eixo
há simetria cilíndrica ao redor do eixo
. Isso implica que:
-
aponta radialmente para fora do eixo (ou para dentro, dependendo do sinal de ); no nosso caso então aponta radialmente para fora. - O módulo de
depende só da distância radial ao eixo , não depende de nem do ângulo azimutal.
Por isso escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio
e comprimento
, centrada no eixo
. Essa escolha simplifica a integral.
Passo 3
Aplicando Gauss na superfície cilíndrica: só a superfície lateral (curva) contribui ao fluxo, pois nas tampas (faces planas)
é paralelo às tampas e o produto escalar
é zero. O fluxo total é, então,
A carga livre dentro da cilindro é a carga da linha de comprimento
:
Igualando pela lei de Gauss:
Cancelando
e isolando
(módulo do componente radial de
):
Aqui
é a distância do ponto ao eixo
(ou seja, a distância no plano
). Observe que essa expressão é muito prática: não depende de
porque usamos diretamente a lei para
.
Passo 4
Calcular a distância radial
do ponto
até o eixo
.
A projeção do ponto no plano perpendicular ao eixo usa apenas as coordenadas
e
. Assim
A projeção do ponto no plano perpendicular ao eixo
Numericamente,
Passo 5
Determinar a direção (vetor unitário radial) do eixo
até o ponto.
O vetor que vai do eixo (um ponto sobre o eixo com mesma coordenada
, por exemplo
) até o ponto
é
O vetor que vai do eixo
O vetor unitário radial é
Passo 6
Agora juntamos a magnitude
com a direção
para obter o vetor
:
Substituímos
e
. Primeiro a magnitude:
As componentes escalares (antes de montar o vetor final) são