Uma linha uniforme de cargas cuja densidade vale \lambda=5 \mu \mathrm{C} / \mathrm{m}, situa-se ao longo do eixo x. Determine o vetor densidade de fluxo elétrico \vec{D} no ponto (3,2,1) \mathrm{m}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o vetor densidade de fluxo elétrico \vec{D} no ponto (3,2,1)\,\mathrm{m} causado por uma linha uniforme de carga situada ao longo do eixo x.
Informações dadas:
  • Densidade linear de carga: \lambda = 5\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}.
  • A linha de cargas coincide com o eixo x (ou seja, a carga está distribuída ao longo de toda a reta x-axis).
  • Ponto onde queremos \vec{D}: (3,2,1)\,\mathrm{m}.
  • Unidade do resultado desejado: densidade de fluxo \vec{D} (unidade no SI: \mathrm{C}/\mathrm{m}^2).

Passo 2

Qual é a equação que usamos para \vec{D} e por que?
A lei integral de Gauss para \vec{D} (forma integral) diz que o fluxo de \vec{D} através de uma superfície fechada é igual à carga livre contida nessa superfície:
\oint_{\text{S}} \vec{D}\cdot d\vec{A} = Q_{\text{livre,\,enc}}.
Aqui:
  • \vec{D} é o vetor densidade de deslocamento elétrico (o que pedem).
  • d\vec{A} é o elemento de área com direção normal à superfície.
  • Q_{\text{livre,\,enc}} é a carga livre total dentro da superfície.
Para uma linha de carga infinita e uniforme ao longo do eixo x há simetria cilíndrica ao redor do eixo x. Isso implica que:
  • \vec{D} aponta radialmente para fora do eixo x (ou para dentro, dependendo do sinal de \lambda); no nosso caso \lambda>0 então aponta radialmente para fora.
  • O módulo de \vec{D} depende só da distância radial \rho ao eixo x, não depende de x nem do ângulo azimutal.
Por isso escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio \rho e comprimento L, centrada no eixo x. Essa escolha simplifica a integral.

Passo 3

Aplicando Gauss na superfície cilíndrica: só a superfície lateral (curva) contribui ao fluxo, pois nas tampas (faces planas) \vec{D} é paralelo às tampas e o produto escalar \vec{D}\cdot d\vec{A} é zero. O fluxo total é, então,
\oint_S \vec{D}\cdot d\vec{A} = D(\rho)\cdot ( \text{área lateral} ) = D(\rho)\cdot (2\pi \rho L).á
A carga livre dentro da cilindro é a carga da linha de comprimento L:
Q_{\text{enc}} = \lambda L.
Igualando pela lei de Gauss:
D(\rho)\cdot (2\pi \rho L) = \lambda L.
Cancelando L e isolando D(\rho) (módulo do componente radial de \vec{D}):
D(\rho) = \frac{\lambda}{2\pi \rho}.
Aqui \rho é a distância do ponto ao eixo x (ou seja, a distância no plano yz). Observe que essa expressão é muito prática: não depende de \varepsilon_0 porque usamos diretamente a lei para \vec{D}.

Passo 4

Calcular a distância radial \rho do ponto (3,2,1) até o eixo x.
A projeção do ponto no plano perpendicular ao eixo x usa apenas as coordenadas y e z. Assim
\rho = \sqrt{y^2 + z^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}.
Numericamente, \sqrt{5}\approx 2,2360679\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Determinar a direção (vetor unitário radial) do eixo x até o ponto.
O vetor que vai do eixo x (um ponto sobre o eixo com mesma coordenada x, por exemplo (3,0,0)) até o ponto (3,2,1) é
\vec{r}_\perp = (0,\;2,\;1).
O vetor unitário radial é
\hat{\rho} = \frac{\vec{r}_\perp}{\rho} = \frac{(0,\,2,\,1)}{\sqrt{5}} = \left(0,\;\frac{2}{\sqrt{5}},\;\frac{1}{\sqrt{5}}\right).

Passo 6

Agora juntamos a magnitude D(\rho) com a direção \hat{\rho} para obter o vetor \vec{D}:
\vec{D} = D(\rho)\,\hat{\rho} = \frac{\lambda}{2\pi \rho}\,\hat{\rho}.
Substituímos \lambda = 5\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m} = 5\times10^{-6}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m} e \rho=\sqrt{5}. Primeiro a magnitude:
D(\rho)=\frac{5\times10^{-6}}{2\pi\sqrt{5}}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^2 \approx 3,559\times10^{-7}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^2.
As componentes escalares (antes de montar o vetor final) são
D_x = 0,
D_y = D(\rho)\cdot\frac{2}{\sqrt{5}} \approx 3,18\times10^{-7}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^2,
D_z = D(\rho)\cdot\frac{1}{\sqrt{5}} \approx 1,59\times10^{-7}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^2.

Resposta

\vec{D}=\left(0,\;3{,}18\times10^{-7},\;1{,}59\times10^{-7}\right)\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^2

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