Calcule todas as derivadas parciais até segunda ordem das funçães:
h(x, y)=4 x^3 y^4+y^3+x^y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular todas as derivadas parciais até a segunda ordem da função h(x,y)=4x^3y^4+y^3+x^y. O conteúdo envolve derivadas parciais de várias variáveis e a derivada da potência x^y, que exige usar as fórmulas partialpartial xx^y=y,x^y-1 e partialpartial yx^y=x^yln x.

Passo 2

Vamos achar hx=partial hpartial x. Para 4x^3y^4 temos 12x^2y^4; para y^3 dá zero; e para x^y usamos y,x^y-1. Logo,
hx=12x^2y^4+y,x^y-1

Passo 3

Agora calculamos hy=partial hpartial y. Para 4x^3y^4 vem 16x^3y^3; para y^3 é 3y^2; e para x^y usamos x^yln x. Assim,
hy=16x^3y^3+3y^2+x^yln x

Passo 4

Passando para as segundas derivadas puras e mistas, começamos com hxx=partialpartial x(hx). Derivando 12x^2y^4 em x 24xy^4 e y,x^y-1 y(y-1)x^y-2. Então,
hxx=24x y^4+y(y-1)x^y-2

Passo 5

Para hxy=partialpartial y(hx), derivamos 12x^2y^4 em y obtendo 48x^2y^3, e em y,x^y-1 usamos produto: a derivada é x^y-1+y,x^y-1ln x. Logo,
hxy=48x^2y^3+x^y-1+y,x^y-1ln x

Passo 6

Como a ordem de diferenciação pode trocar, confirmamos que hyx=partialpartial x(hy) dá o mesmo resultado: derivando 16x^3y^3 em x vem 48x^2y^3, e em x^yln x aplicamos produto para chegar a y x^y-1ln x + x^y-1. Então,
hyx=48x^2y^3+y,x^y-1ln x+x^y-1

Passo 7

Finalmente, para hyy=partialpartial y(hy), derivamos 16x^3y^3 em y dando 48x^3y^2, 3y^2 vira 6y, e x^yln x em y x^y(ln x)^2. Portanto,

Resposta

h_x = 12x2y4 + y,x^{y-1}
h_y = 16x3y3 + 3y^2 + x^y\ln x
h_{xx} = 24x y^4 + y(y-1)x^{y-2}
h_{xy} = 48x2y3 + x^{y-1} + y,x^{y-1}\ln x
h_{yx} = 48x2y3 + y,x^{y-1}\ln x + x^{y-1}
h_{yy} = 48x3y2 + 6y + x^y(\ln x)^2

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