Calcule todas as derivadas parciais até segunda ordem das funçães:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular todas as derivadas parciais até a segunda ordem da função
. O conteúdo envolve derivadas parciais de várias variáveis e a derivada da potência
, que exige usar as fórmulas
e
.
Passo 2
Vamos achar
. Para
temos
; para
dá zero; e para
usamos
. Logo,
Passo 3
Agora calculamos
. Para
vem
; para
é
; e para
usamos
. Assim,
Passo 4
Passando para as segundas derivadas puras e mistas, começamos com
. Derivando
em
dá
e
dá
. Então,
Passo 5
Para
, derivamos
em
obtendo
, e em
usamos produto: a derivada é
. Logo,
Passo 6
Como a ordem de diferenciação pode trocar, confirmamos que
dá o mesmo resultado: derivando
em
vem
, e em
aplicamos produto para chegar a
. Então,
Passo 7
Finalmente, para
, derivamos
em
dando
,
vira
, e
em
dá
. Portanto,
Resposta
h_x = 12x2y4 + y,x^{y-1}
h_y = 16x3y3 + 3y^2 + x^y\ln x
h_{xx} = 24x y^4 + y(y-1)x^{y-2}
h_{xy} = 48x2y3 + x^{y-1} + y,x^{y-1}\ln x
h_{yx} = 48x2y3 + y,x^{y-1}\ln x + x^{y-1}
h_{yy} = 48x3y2 + 6y + x^y(\ln x)^2