Seja o vetor v=(m+7) imath+(m+2) jmath. Calcule m para que |v|=raiz38 e represente graficamente.
R: m=-9 pm raiz512

Passo 1

O enunciado dá o vetor
v = (m+7),vecimath + (m+2),vecjmath
e pede para encontrar m de modo que a norma de vec v seja raiz38.
Conteúdo: definição de norma de um vetor no plano e resolução de equação quadrática.

Passo 2

Aplicamos a definição de norma euclidiana:
|vec v| = raiz(m+7)^2 + (m+2)^2
Impondo |vec v| = raiz38, elevamos ao quadrado e obtemos
(m+7)^2 + (m+2)^2 = 38

Passo 3

Expandindo os quadrados:
(m+7)^2 + (m+2)^2 = m^2 + 14m +49 + m^2 +4m +4 = 2m^2 +18m +53
Logo a equação torna-se
2m^2 +18m +53 = 38 Longrightarrow 2m^2 +18m +15 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática
2m^2 +18m +15 = 0
pelo discriminante De<a = 18^2 -4cdot2cdot15 = 324 -120 = 204, temos
m = -18 pm raiz2042cdot2 = -18 pm raiz4cdot514 = -18 pm 2raiz514 = -9 pm raiz512

Passo 5

Para representar graficamente, note que cada solução mi gera um vetor
vec vi = l(mi+7,;mi+2r)
Chamando
m1 = -9 + raiz512, m2 = -9 - raiz512,
temos aproximadamente
vec v1 approx (6,07,;1,07), vec v2 approx (-1,07,;-6,07)
No plano cartesiano, basta traçar a origem O e os vetores O A e O B com extremidades em A=(6,07,1,07) e B=(-1,07,-6,07). Ambos têm comprimento raiz38.

Resposta

m = -9 pm raiz512

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