Determine x e y para que se tenha A B=C D, sendo A=(x, 1-y), B=(4, y+3), C=(x-3 y, x+2) e D=(2 x, y+6).
R: x=2 e y=0

Passo 1

O enunciado pede determinar x e y tais que AB=CD, onde
A=(x,,1-y), B=(4,,y+3), C=(x-3y,,x+2), D=(2x,,y+6)
O conteúdo aqui é cálculo de componentes de vetores no plano e resolução de sistema linear.

Passo 2

Calculamos as componentes de AB e CD.
AB=B-A=(4-x,,(y+3)-(1-y))=(4-x,;2y+2)
CD=D-C=l(2x-(x-3y),;(y+6)-(x+2)r)=(x+3y,;y+4 - x)

Passo 3

Impondo AB=CD obtemos o sistema em x,y:
4 - x = x + 3y,
2y + 2 = y + 4 - x

Passo 4

Simplificamos as equações. Da segunda equação:
2y+2 = y+4 - x implies 2y+2 -y -4 = -x implies y -2 = -x implies x + y = 2
A primeira eq. pode ser escrita como
4 - x = x + 3y implies 2x + 3y = 4
Logo o sistema é
2x + 3y = 4, x + y = 2

Passo 5

Resolvendo por substituição: de x+y=2 vem x=2-y. Substituindo em 2x+3y=4:
2(2-y)+3y=4 implies 4 -2y+3y=4 implies y=0,
e então x=2-0=2.

Resposta

x=2 e y=0.

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