Seja W=a+b t+c t^2 in mathscrP2(R) mid c neq 0 cup0, isto é, W é o conjunto de todos os polinômios de grau (exatamente) igual a 2, acrescido do polinômio nulo. Defina em W as operações usuais de adição de polinômios e de multiplicação de polinômio por escalar. Explique porque W não é um subespaço vetorial de mathscrP2(R).

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial mathscrP2(R) (polinômios de grau até 2) e define
W = ,a + b,t + c,t^2 in mathscrP2(R) mid c neq 0;cup;0,
isto é, todos os polinômios de grau exatamente 2, mais o polinômio zero. Queremos ver por que W não é subespaço de mathscrP2(R).

Passo 2

Lembrando que um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se, e somente se, satisfeitas as três condições:
  1. 0in W.
  2. Se p, qin W, então p+qin W.
  3. Se alphainR e pin W, então alpha pin W.
    Aqui já vemos que 0in W por definição, e a multiplicação por escalar também preserva grau 2 (exceto no caso alpha=0, que leva a zero, também em W). Falta então verificar o fecho em relação à adição.

Passo 3

Escolhemos dois polinômios de grau 2 em W:
p1(t) = t^2 + t, p2(t) = -,t^2 + t
Ambos têm coeficiente de t^2 diferente de zero, logo p1,p2in W. Porém, sua soma é
p1(t)+p2(t) = (t^2 + t) + (-t^2 + t) = 2,t,
que é um polinômio de grau 1 e não é o polinômio zero. Como em W só estão permitidos polinômios de grau exatamente 2 ou o zero, concluímos que
p1 + p2 notin W
Isso mostra que W não é fechado sob adição.

Resposta

W não é subespaço vetorial de mathscrP2(R) porque não é fechado em relação à soma de vetores (polinômios).

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