Seja
, isto é,
é o conjunto de todos os polinômios de grau (exatamente) igual a 2, acrescido do polinômio nulo. Defina em
as operações usuais de adição de polinômios e de multiplicação de polinômio por escalar. Explique porque
não é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço vetorial
(polinômios de grau até 2) e define
isto é, todos os polinômios de grau exatamente 2, mais o polinômio zero. Queremos ver por que
não é subespaço de
.
Passo 2
Lembrando que um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se, e somente se, satisfeitas as três condições:
-
. - Se
, então . - Se
e , então .
Aqui já vemos quepor definição, e a multiplicação por escalar também preserva grau 2 (exceto no caso , que leva a zero, também em ). Falta então verificar o fecho em relação à adição.
Passo 3
Escolhemos dois polinômios de grau 2 em
:
Ambos têm coeficiente de
diferente de zero, logo
. Porém, sua soma é
que é um polinômio de grau 1 e não é o polinômio zero. Como em
só estão permitidos polinômios de grau exatamente 2 ou o zero, concluímos que
Isso mostra que
não é fechado sob adição.