Seja W=[lla & b c & d] in M2(R) rvert, a b c d=0. Defina em W as operações usuais de adição de matrizes e de multiplicação de matriz por escalar. Explique porque W não é um subespaço vetorial de M2(R).

Passo 1

O enunciado define
W = a & b[0.3em]c & din M2(R);|;a,b,c,d=0
e pergunta se W é subespaço de M2(R).
Para ser subespaço, W deve satisfazer três condições:
1. A matriz zero pertence a W.
2. W é fechado sob multiplicação por escalar.
3. W é fechado sob adição.]

Passo 2

Verificamos a matriz zero
O = 0&0[0.3em]0&0
Como 0cdot0cdot0cdot0 = 0, temos Oin W.]

Passo 3

Fechamento sob multiplicação escalar: seja A=a&b[0.3em]c&din W, ou seja, a,b,c,d=0, e seja lambdainR. Então
lambda A = lambda a & lambda b[0.3em]lambda c & lambda d
e o produto de suas entradas é
(lambda a),(lambda b),(lambda c),(lambda d) =lambda^4,(a,b,c,d)=lambda^4cdot0=0
Logo lambda Ain W.]

Passo 4

Fechamento sob adição: considere
A = 1&0[0.3em]0&1, B = 0&1[0.3em]1&0
Em A, 1cdot0cdot0cdot1=0 e em B, 0cdot1cdot1cdot0=0. Logo A,Bin W. Mas
A+B = 1&1[0.3em]1&1 e 1cdot1cdot1cdot1 = 1 neq 0,
ou seja, A+Bnotin W.]

Resposta

W não é subespaço vetorial de M2(R) pois não é fechado sob a soma de matrizes.

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