(Sel. Mestrado UFRGS 2016/1) Dados V, W espaços vetoriais sobre um corpo K e A: V W um isomorfismo, mostre que aplicação varphi: L(V) L(W) dada por varphi(B)=A B A^-1 define um isomorfismo linear entre L(V) e L(W).
15. Considere um T.L T: U V. Provar que, se o conjunto T(u1), ldots, T(ur) é L.I em V, então u1, ldots, ur é L.I em U. Provar que, se T é injetora e u1, ldots, ur é L.I em U, então T(u1), ldots, T(ur) é L.I em V.

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Na primeira, temos espaços vetoriais V e W sobre K e um isomorfismo Acolon Vto W. Definimos
varphicolon L(V)to L(W), varphi(B)=A,B,A^-1,
e queremos mostrar que varphi é um isomorfismo linear.
Na segunda parte, temos Tcolon Uto V linear e devemos provar duas coisas:
  1. Se T(u1),dots,T(ur) é L.I. em V, então u1,dots,ur é L.I. em U.
  2. Se T é injetora e u1,dots,ur é L.I. em U, então T(u1),dots,T(ur) é L.I. em V.

Passo 2

Mostramos que varphi é linear. Dados B1,B2in L(V) e lambdainK,
varphi(B1+B2) = A,(B1+B2),A^-1 = A,B1,A^-1 + A,B2,A^-1 = varphi(B1) + varphi(B2),
varphi(lambda B1) = A,(lambda B1),A^-1 = lambda,(A,B1,A^-1) = lambda,varphi(B1)
Logo varphi preserva soma e multiplicação por escalar, ou seja, é linear.

Passo 3

Mostramos que varphi é bijetora construindo explicitamente sua inversa. Defina
psicolon L(W)to L(V), psi(C)=A^-1,C,A
Então, para todo BinL(V),
psil(varphi(B)r) = A^-1,(A,B,A^-1),A = B,
e para todo CinL(W),
varphil(psi(C)r) = A,(A^-1,C,A),A^-1 = C
Assim psi=varphi^-1, logo varphi é bijetora. Concluímos que varphi é isomorfismo linear.

Passo 4

Agora a parte sobre independência. Suponha T(u1),dots,T(ur) L.I. em V. Se existirem escalares alpha1,dots,alphar tais que
alpha1,u1 + cdots + alphar,ur = 0em U,
aplicando T obtemos
alpha1,T(u1) + cdots + alphar,T(ur) = T(alpha1,u1 + cdots + alphar,ur) = T(0)=0em V
Como T(ui) é L.I., todos alphai=0. Logo u1,dots,ur é L.I.

Passo 5

Finalmente, suponha T injetora e u1,dots,ur L.I. em U. Se houve escalares beta1,dots,betar com
beta1,T(u1) + cdots + betar,T(ur) = 0em V,
então
Tl(beta1,u1 + cdots + betar,urr) = beta1,T(u1) + cdots + betar,T(ur) =0
Pela injetividade de T,
beta1,u1 + cdots + betar,ur = 0
em U. Como ui é L.I., segue betai=0 para todo i. Assim T(u1),dots,T(ur) é L.I.

Resposta

Mostramos que varphi(B)=A,B,A^-1 é linear e bijetora (com inversa psi(C)=A^-1CA), logo é um isomorfismo linear entre L(V) e L(W). Em seguida, provamos que aplicar T preserva e reflete independência linear conforme os enunciados das duas implicações.

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