(Sel. Mestrado UFRGS 2016/1) Dados
espaços vetoriais sobre um corpo
e
um isomorfismo, mostre que aplicação
dada por
define um isomorfismo linear entre
e
.
15. Considere um T.L
. Provar que, se o conjunto
é L.I em
, então
é L.I em
. Provar que, se
é injetora e
é L.I em
, então
é L.I em
.
15. Considere um T.L
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Na primeira, temos espaços vetoriais
e
sobre
e um isomorfismo
. Definimos
e queremos mostrar que
é um isomorfismo linear.
Na segunda parte, temos linear e devemos provar duas coisas:
Na segunda parte, temos
- Se
é L.I. em , então é L.I. em . - Se
é injetora e é L.I. em , então é L.I. em .
Passo 2
Mostramos que
é linear. Dados
e
,
Logo
preserva soma e multiplicação por escalar, ou seja, é linear.
Passo 3
Mostramos que
é bijetora construindo explicitamente sua inversa. Defina
Então, para todo
,
e para todo
,
Assim
, logo
é bijetora. Concluímos que
é isomorfismo linear.
Passo 4
Agora a parte sobre independência. Suponha
L.I. em
. Se existirem escalares
tais que
aplicando
obtemos
Como
é L.I., todos
. Logo
é L.I.
Passo 5
Finalmente, suponha
injetora e
L.I. em
. Se houve escalares
com
então
Pela injetividade de
,
em
. Como
é L.I., segue
para todo
. Assim
é L.I.
Resposta
Mostramos que
é linear e bijetora (com inversa
), logo é um isomorfismo linear entre
e
. Em seguida, provamos que aplicar
preserva e reflete independência linear conforme os enunciados das duas implicações.