Sejam V um K-espaço vetorial e v1, ldots, vm in V. Denote por [v1, ldots, vm] o conjunto de todas as combinações lineares alpha1 v1+cdots+alpham vm, onde alpha1, ldots, alpham in K. Verifique que [v1, ldots, vm] é um subespaço vetorial de V. Esse subespaço é chamado de subespaço gerado por v1, ldots, vm.

Passo 1

O enunciado define em V (um espaço vetorial sobre o corpo K) o conjunto
l[v1,dots,vmr] =alpha1v1+cdots+alphamvmmid alphaiin K
Queremos mostrar que este conjunto é um subespaço de V. Para isso, vamos usar o critério padrão:
  1. Mostrar que o vetor zero de V está em l[v1,dots,vmr].
  2. Mostrar que l[v1,dots,vmr] é fechado sob soma.
  3. Mostrar que l[v1,dots,vmr] é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostramos que o vetor zero 0 de V pertence a l[v1,dots,vmr]. Basta escolher todos os coeficientes iguais a zero:
0 =0cdot v1+cdots+0cdot vm,
e como 0in K, segue 0in l[v1,dots,vmr]. Assim o conjunto é não vazio.

Passo 3

Sejam
x=alpha1v1+cdots+alphamvm, y=beta1v1+cdots+betamvm
dois vetores em l[v1,dots,vmr]. Então a soma é
x+y =(alpha1+beta1)v1+cdots+(alpham+betam)vm
Como cada alphai+betaiin K, concluímos que x+yin l[v1,dots,vmr], ou seja, o conjunto é fechado sob soma.

Passo 4

Seja lambdain K e x=alpha1v1+cdots+alphamvmin l[v1,dots,vmr]. Então
lambda x =lambda(alpha1v1+cdots+alphamvm) =(lambdaalpha1)v1+cdots+(lambdaalpham)vm
Como cada lambdaalphaiin K, temos lambda xin l[v1,dots,vmr]. Portanto é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

l[v1,dots,vmr] satisfaz os três requisitos de subespaço vetorial (contém o zero, fechado em soma e escalar), logo é um subespaço de V.

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