Sejam
um
-espaço vetorial e
. Denote por
o conjunto de todas as combinações lineares
, onde
. Verifique que
é um subespaço vetorial de
. Esse subespaço é chamado de subespaço gerado por
.
Passo 1
O enunciado define em
(um espaço vetorial sobre o corpo
) o conjunto
Queremos mostrar que este conjunto é um subespaço de
. Para isso, vamos usar o critério padrão:
- Mostrar que o vetor zero de
está em . - Mostrar que
é fechado sob soma. - Mostrar que
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Mostramos que o vetor zero
de
pertence a
. Basta escolher todos os coeficientes iguais a zero:
e como
, segue
. Assim o conjunto é não vazio.
Passo 3
Sejam
dois vetores em
. Então a soma é
Como cada
, concluímos que
, ou seja, o conjunto é fechado sob soma.
Passo 4
Seja
e
. Então
Como cada
, temos
. Portanto é fechado sob multiplicação por escalar.