Seja W um espaço euclidiano de dimensão finita n e F: W W uma transformação linear. Suponha que existe um subespaço linear S de W, tal que F(S)=S^perp.
(a) Prove que dim(S) >= n / 2 e que se F for invertível então dim(S)=n / 2.
(b) Mostre, através de exemplos, que se dim(S)=n / 2 então F pode ser ou não invertível.
(c) Prove que se se tiver F(S^perp)=S então F é invertível.
(d) Mostre que nas condições da alínea anterior a soma dos valores próprios de F é nula.

Passo 1

O enunciado trabalha com um espaço euclidiano W de dimensão finita n e uma transformação linear F:Wto W. Há um subespaço Ssubset W tal que
F(S)=S^perp
O conteúdo principal é Álgebra Linear: teorema do posto, dimensões de subespaços ortogonais, soma direta W=Soplus S^perp, e propriedades de transformações invertíveis. Vamos usar o fato de que para toda aplicação linear T:Uto V vale
dim(Im,T)<=dim U,
com igualdade se, e só se, T for injetora sobre o domínio apropriado.

Passo 2

(a) Como F(S)=S^perp, aplicamos o teorema do posto à restrição
F|S:Slongrightarrow W,
cuja imagem tem dimensão dim S^perp=n-dim S. Logo
n-dim S=dim(S^perp)=diml(Im(F|S)r)<=dim S
Rearranjando,
n<=2,dim S Longrightarrow dim S>= n2
Se, além disso, F é invertível então F|S:Sto S^perp é sobrejetora de um espaço de dimensão dim S em outro de dimensão n-dim S. Sobrejetora entre espaços de dimensões iguais implica igualdade de dimensões, isto é,
dim S=n-dim S Longrightarrow dim S= n2

Passo 3

(b) Vamos dar exemplos em (logo , ).
Exemplo 1 (invertível): seja a rotação de no plano. Se é qualquer reta contendo um vetor , então é a reta perpendicular a , ou seja , e é invertível.
Exemplo 2 (não invertível): seja a base ortonormal e defina
Tomando , temos , mas não é invertível porque .

Passo 4

(c) Agora suponha também que
Como
Ambas as restrições são sobrejetoras em espaços de mesma dimensão (, mas agora como são iguais forçamos ). Sobrejeção entre espaços de mesma dimensão implica bijeção em cada bloco. Logo é bijetora em , isto é, invertível.

Passo 5

(d) Se F satisfaz os itens de (c), escolha base ortonormal adaptada u1,dots,uk de S e v1,dots,vk de S^perp, com k=n/2. Em tal base, a matriz de F tem forma de bloco
0 & A B & 0 ,
onde A e B são matrizes ktimes k. O traço de F é a soma de seus elementos diagonais; como os blocos diagonais são nulos,
tr(F)=0
Mas o traço de uma transformação linear é igual à soma de suas raízes características (valores próprios, com multiplicidade). Portanto a soma dos valores próprios de F é zero.

Resposta

(a) e, se é invertível, .
(b) Exemplo invertível: rotação de em ; exemplo não invertível: operador que manda e .
(c) Sob e , é invertível.
(d) Nessas condições, .

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