Seja
um espaço euclidiano de dimensão finita
e
uma transformação linear. Suponha que existe um subespaço linear
de
, tal que
.
(a) Prove que
e que se
for invertível então
.
(b) Mostre, através de exemplos, que se
então
pode ser ou não invertível.
(c) Prove que se se tiver
então
é invertível.
(d) Mostre que nas condições da alínea anterior a soma dos valores próprios de
é nula.
(a) Prove que
(b) Mostre, através de exemplos, que se
(c) Prove que se se tiver
(d) Mostre que nas condições da alínea anterior a soma dos valores próprios de
Passo 1
O enunciado trabalha com um espaço euclidiano
de dimensão finita
e uma transformação linear
. Há um subespaço
tal que
O conteúdo principal é Álgebra Linear: teorema do posto, dimensões de subespaços ortogonais, soma direta
, e propriedades de transformações invertíveis. Vamos usar o fato de que para toda aplicação linear
vale
com igualdade se, e só se,
for injetora sobre o domínio apropriado.
Passo 2
(a) Como
, aplicamos o teorema do posto à restrição
cuja imagem tem dimensão
. Logo
Rearranjando,
Se, além disso,
é invertível então
é sobrejetora de um espaço de dimensão
em outro de dimensão
. Sobrejetora entre espaços de dimensões iguais implica igualdade de dimensões, isto é,
Passo 3
(b) Vamos dar exemplos em (logo
,
).
Exemplo 1 (invertível): seja
a rotação de
no plano. Se
é qualquer reta contendo um vetor
, então
é a reta perpendicular a
, ou seja
, e
é invertível.
Exemplo 2 (não invertível): seja a base ortonormal
e defina
Tomando
, temos
, mas
não é invertível porque
.
Passo 4
(c) Agora suponha também que
Como
Ambas as restrições são sobrejetoras em espaços de mesma dimensão (, mas agora como são iguais forçamos
). Sobrejeção entre espaços de mesma dimensão implica bijeção em cada bloco. Logo
é bijetora em
, isto é, invertível.
Passo 5
(d) Se
satisfaz os itens de (c), escolha base ortonormal adaptada
de
e
de
, com
. Em tal base, a matriz de
tem forma de bloco
onde
e
são matrizes
. O traço de
é a soma de seus elementos diagonais; como os blocos diagonais são nulos,
Mas o traço de uma transformação linear é igual à soma de suas raízes características (valores próprios, com multiplicidade). Portanto a soma dos valores próprios de
é zero.
Resposta
(a)
e, se
é invertível,
.
(b) Exemplo invertível: rotação de em ; exemplo não invertível: operador que manda
e
.
(c) Sob e
,
é invertível.
(d) Nessas condições, .
(b) Exemplo invertível: rotação de
(c) Sob
(d) Nessas condições,