i) Mostre que as retas com coeficiente angular e tangentes a elipse são dadas por:
ii) Mostre que os pontos de interseção são e
iii) Mostre que
iv) Calcule a equação paramétrica da reta passando pelos pontos e e mostre que seu coeficiente angular é igual a .
Passo 1
O enunciado trata da elipse
e pede:
– (i) as retas de coeficiente angular que são tangentes a ela;
– (ii) os pontos de tangência;
– (iii) a distância entre esses pontos;
– (iv) a equação paramétrica do segmento entre eles e a verificação de que seu coeficiente angular é .
Passo 2
Suponha a reta genérica
Substituindo na elipse:
Para ser tangente, o discriminante deve zerar:
Logo as retas são
Passo 3
Em cada caso a equação quadrática tem raiz dupla
Tomando e obtemos
Passo 4
O vetor é
de modo que
Passo 5
Tomando parâmetro , uma equação paramétrica do segmento é