i) Mostre que as retas com coeficiente angular m e tangentes a elipse x^2 / a^2+y^2 / b^2=1 são dadas por:
y=m x pm raiza^2 m^2+b^2
ii) Mostre que os pontos de interseção são P1=(-a^2 mraiza^2 m^2+b^2, b^2raiza^2 m^2+b^2) e P2=(a^2 mraiza^2 m^2+b^2,-b^2raiza^2 m^2+b^2
iii) Mostre que
d(P1, P2)=|P2-P1|=2 raiza^4 m^2+b^4a^2 m^2+b^2
iv) Calcule a equação paramétrica da reta passando pelos pontos P1 e P2 e mostre que seu coeficiente angular é igual a -b^2 /(a^2 m).

Passo 1

O enunciado trata da elipse
x^2a^2+y^2b^2=1
e pede:
– (i) as retas de coeficiente angular m que são tangentes a ela;
– (ii) os pontos de tangência;
– (iii) a distância entre esses pontos;
– (iv) a equação paramétrica do segmento entre eles e a verificação de que seu coeficiente angular é -tfracb^2a^2m.

Passo 2

Suponha a reta genérica
y = m x + c
Substituindo na elipse:
x^2a^2+(m x + c)^2b^2=1 ;Longrightarrow; (a^2m^2+b^2)x^2+2a^2m c,x+a^2(c^2-b^2)=0
Para ser tangente, o discriminante deve zerar:
De<a=(2a^2m c)^2-4(a^2m^2+b^2)cdot a^2(c^2-b^2)=0 ;Longrightarrow; c^2=a^2m^2+b^2,
c=pmraiza^2m^2+b^2
Logo as retas são
boxedy = m x pm raiza^2m^2+b^2,

Passo 3

Em cada caso a equação quadrática tem raiz dupla
x=-a^2m,ca^2m^2+b^2, y=m x + c
Tomando c=+raiza^2m^2+b^2 e c=-raiza^2m^2+b^2 obtemos
P1=l(-tfraca^2mraiza^2m^2+b^2,;tfracb^2raiza^2m^2+b^2r), P2=l(tfraca^2mraiza^2m^2+b^2,;-tfracb^2raiza^2m^2+b^2r)

Passo 4

O vetor P2-P1 é
l(tfrac2a^2mraiza^2m^2+b^2,; -tfrac2b^2raiza^2m^2+b^2r),
de modo que
d(P1,P2) =raizl(tfrac2a^2mraiza^2m^2+b^2r)^2 +l(-tfrac2b^2raiza^2m^2+b^2r)^2 =2raiza^4m^2+b^4a^2m^2+b^2

Passo 5

Tomando parâmetro t, uma equação paramétrica do segmento P1P2 é
x(t) =-dfraca^2mraiza^2m^2+b^2 + t;dfrac2a^2mraiza^2m^2+b^2,[1em] y(t) =dfracb^2raiza^2m^2+b^2 + t;l(-dfrac2b^2raiza^2m^2+b^2r)
O coeficiente angular desta reta é
-2b^2/raiza^2m^2+b^22a^2m/raiza^2m^2+b^2 = -b^2a^2m ]

Resposta

i) y=mxpmraiza^2m^2+b^2
ii) P1=l(-tfraca^2mraiza^2m^2+b^2,,tfracb^2raiza^2m^2+b^2r), P2=l(tfraca^2mraiza^2m^2+b^2,,-tfracb^2raiza^2m^2+b^2r)
iii) d(P1,P2)=2raiztfraca^4m^2+b^4a^2m^2+b^2
iv) Equação paramétrica como acima e coeficiente angular -tfracb^2a^2m.

Exercícios relacionados