Seja (an)n in ellinfty fixado. Mostre que varphi((xn)n)=sumn in N xn an define um funcional linear contínuo em ell1. Calcule a norma de varphi.

Passo 1

O enunciado fornece uma sequência l(anr)ninellinfty fixa e define
varphi:ell1toK (onde K=R ou C) por
varphil((xn)nr);=;sumn=1^inftyxn,an
O conteúdo da matéria é a identificação de ell1^* com ellinfty e o uso da desigualdade de Hölder no caso p=1, q=infty. Vamos mostrar que varphi é linear e contínuo e depois calcular a sua norma.

Passo 2

Verificamos a linearidade de varphi. Para (xn)n,(yn)ninell1 e lambdainK,
varphil((xn)+(yn)r) =sumn(xn+yn),an =sumnxnan+sumnynan =varphi((xn))+varphi((yn)),
varphil(lambda(xn)r) =sumn(lambda xn),an =lambdasumnxnan =lambda,varphi((xn))
Logo varphi é linear.

Passo 3

Para a continuidade, basta mostrar que existe C tal que
l|varphi((xn))r|<= C|(xn)|1. Como
|a|infty=supn|an|, temos
l|varphi((xn))r| =l|sumnxnanr| <=sumn|xn|;|an| <=sumn|xn|;|a|infty =|a|inftysumn|xn| =|a|infty,|(xn)|1
Isto mostra que varphi é limitado e, portanto, contínuo, com
|varphi|<=|a|infty.

Passo 4

Para obter a igualdade |varphi|=|a|infty, consideramos a sequência canônica
(e^(k)n) em ell1 definida por e^(k)n=de<ank. Então
|e^(k)|1=1 e
varphi(e^(k))=sumne^(k)nan=ak,
logo |varphi(e^(k))|=|ak|. Tomando o supremum em k,
|varphi| =sup|(xn)|1=1l|varphi((xn))r| >=supk|varphi(e^(k))| =supk|ak| =|a|infty
Juntando com a desigualdade anterior, conclui-se
|varphi|=|a|infty

Resposta

|varphi|=|a|infty

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