Sejam V um espaço linear real de dimensão finita e T: V V uma transformação linear.
(a) Suponha que existe um escalar mu tal que
T^2(v) stackrel def = T(T(v))=mu T(v)
para todo o v in V. Quais os possíveis valores próprios de T ?
(b) Mostre que, nas condições da alínea anterior e se mu neq 1, então a transformação linear dada por S(v)=v-T(v) é invertível.
(c) Prove que se a característica de T for 1 , então existe um escalar mu nas condições da alínea a.
(d) Será que se existir um escalar mu nas condições da alínea a. então a característica de T é necessariamente 1? Justifique.

Passo 1

O enunciado trata de uma transformação linear T:Vto V em espaço real de dimensão finita, sujeita à relação
T^2(v)=mu,T(v)forall vin V
onde mu é um escalar. Nas alíneas pede-se:
  • (a) determinar os possíveis valores próprios de T;
  • (b) mostrar que, se muneq1, então S=I-T é invertível;
  • (c) provar que, se rankT=1, então já existe um mu que faz T^2=mu T;
  • (d) verificar se a recíproca de (c) é verdadeira.
    Vamos usar teoria de valores próprios, núcleo e imagem de transformações lineares.

Passo 2

(a) Suponha que vneq0 seja autofunctor de T com valor próprio lambda, isto é
T(v)=lambda v
Então
T^2(v)=lambda^2v e mu,T(v)=mu,lambda v
Como T^2(v)=mu,T(v), igualamos
lambda^2v=mulambda v ;Longrightarrow; lambda^2=mulambda ;Longrightarrow; lambda(lambda-mu)=0
Logo os únicos valores próprios são
lambda=0 ou lambda=mu

Passo 3

(b) Definimos S=I-T. Para ver que S é invertível basta mostrar que ker S=0. Se S(v)=0 então
v-T(v)=0 ;Longrightarrow; T(v)=v
Aplicando T de novo e usando T^2=mu T,
T(v)=T^2(v)=mu,T(v) ;Longrightarrow; (1-mu),T(v)=0
Como muneq1, segue T(v)=0 e então v= T(v)=0. Assim ker S=0, ou seja, S é injetora em espaço de dimensão finita e portanto invertível.

Passo 4

(c) Suponha rankT=1. Então Im T é uma reta gerada por algum uneq0. Existe funcional linear varphi:Vto R tal que
T(v)=varphi(v),u forall vin V
Logo
T^2(v)=Tl(varphi(v)ur)=varphi(v),T(u) =varphi(v),varphi(u),u =varphi(u),l(varphi(v)ur) =varphi(u),T(v)
Basta então tomar mu=varphi(u) para obter T^2=mu,T.

Passo 5

(d) A recíproca não vale em geral. Por exemplo, seja T qualquer projeção ortogonal de V num subespaço de dimensão >1. Então rankT>1 e
T^2=T,
isto é, satisfaz T^2=mu T com mu=1, embora rankTneq1. Portanto não é obrigatório que rankT=1.

Resposta

(a) Os valores próprios de T são
0oumu
(b) Se muneq1, então S=I-T tem núcleo trivial e é invertível.
(c) Se rankT=1, então escrevemos T(v)=varphi(v)u e obtemos T^2=varphi(u),T.
(d) Não: uma projeção de posto maior que 1 satisfaz T^2=T mas tem rankT>1.

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