Sejam
um espaço linear real de dimensão finita e
uma transformação linear.
(a) Suponha que existe um escalar
tal que
para todo o
. Quais os possíveis valores próprios de
?
(b) Mostre que, nas condições da alínea anterior e se
, então a transformação linear dada por
é invertível.
(c) Prove que se a característica de
for 1 , então existe um escalar
nas condições da alínea a.
(d) Será que se existir um escalar
nas condições da alínea a. então a característica de
é necessariamente 1? Justifique.
(a) Suponha que existe um escalar
(b) Mostre que, nas condições da alínea anterior e se
(c) Prove que se a característica de
(d) Será que se existir um escalar
Passo 1
O enunciado trata de uma transformação linear
em espaço real de dimensão finita, sujeita à relação
onde
é um escalar. Nas alíneas pede-se:
- (a) determinar os possíveis valores próprios de
; - (b) mostrar que, se
, então é invertível; - (c) provar que, se
, então já existe um que faz ; - (d) verificar se a recíproca de (c) é verdadeira.
Vamos usar teoria de valores próprios, núcleo e imagem de transformações lineares.
Passo 2
(a) Suponha que
seja autofunctor de
com valor próprio
, isto é
Então
Como
, igualamos
Logo os únicos valores próprios são
Passo 3
(b) Definimos
. Para ver que
é invertível basta mostrar que
. Se
então
Aplicando
de novo e usando
,
Como
, segue
e então
. Assim
, ou seja,
é injetora em espaço de dimensão finita e portanto invertível.
Passo 4
(c) Suponha
. Então
é uma reta gerada por algum
. Existe funcional linear
tal que
Logo
Basta então tomar
para obter
.
Passo 5
(d) A recíproca não vale em geral. Por exemplo, seja
qualquer projeção ortogonal de
num subespaço de dimensão
. Então
e
isto é, satisfaz
com
, embora
. Portanto não é obrigatório que
.
Resposta
(a) Os valores próprios de
são
(b) Se
, então
tem núcleo trivial e é invertível.
(c) Se , então escrevemos
e obtemos
.
(d) Não: uma projeção de posto maior que 1 satisfaz mas tem
.
(c) Se
(d) Não: uma projeção de posto maior que 1 satisfaz