- (a) Seja
uma função diferenciável diferenciável de
e
e seja cada
uma função diferenciável de
. Encontre uma fórmula da regra da cadeia para
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função diferenciável w que depende das variáveis x₁, x₂, x₃ e x₄, e cada uma dessas xᵢ é uma função diferenciável de t. Precisamos encontrar a derivada total dw/dt usando a regra da cadeia em várias variáveis.
Passo 2
Na regra da cadeia multivariável, quando w = w(x₁,x₂,x₃,x₄) e cada xᵢ = xᵢ(t), a derivada total de w em relação a t é a soma das derivadas parciais de w em relação a cada xᵢ multiplicadas por dxᵢ/dt.
Passo 3
Aplicando esse princípio, escrevemos explicitamente a soma das quatro parcelas correspondentes a x₁, x₂, x₃ e x₄.
Resposta
[\frac{dw}{dt} = \frac{\partial w}{\partial x_{1}}\frac{dx_{1}}{dt} + \frac{\partial w}{\partial x_{2}}\frac{dx_{2}}{dt} + \frac{\partial w}{\partial x_{3}}\frac{dx_{3}}{dt} + \frac{\partial w}{\partial x_{4}}\frac{dx_{4}}{dt}.]