1. (a) Seja w uma função diferenciável diferenciável de x1, x2, x3 e x4 e seja cada xi uma função diferenciável de t. Encontre uma fórmula da regra da cadeia para d w / d t.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função diferenciável w que depende das variáveis x₁, x₂, x₃ e x₄, e cada uma dessas xᵢ é uma função diferenciável de t. Precisamos encontrar a derivada total dw/dt usando a regra da cadeia em várias variáveis.

Passo 2

Na regra da cadeia multivariável, quando w = w(x₁,x₂,x₃,x₄) e cada xᵢ = xᵢ(t), a derivada total de w em relação a t é a soma das derivadas parciais de w em relação a cada xᵢ multiplicadas por dxᵢ/dt.

Passo 3

Aplicando esse princípio, escrevemos explicitamente a soma das quatro parcelas correspondentes a x₁, x₂, x₃ e x₄.

Resposta

[\frac{dw}{dt} = \frac{\partial w}{\partial x_{1}}\frac{dx_{1}}{dt} + \frac{\partial w}{\partial x_{2}}\frac{dx_{2}}{dt} + \frac{\partial w}{\partial x_{3}}\frac{dx_{3}}{dt} + \frac{\partial w}{\partial x_{4}}\frac{dx_{4}}{dt}.]

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