Seja W=[(1,2,3,0) ;(0, k, 2,0),(1,2, k, 0),(0,0,0,1)] subespaço de \mathbb{R}^{4}.
(a) Para que valores de k, W=\mathbb{R}^{4} ?
(b) Para k=3, determine uma base e dimensão para W.
(c) Para k=0, o vetor (1,2,1,1) \in W ?
Passo 1
O enunciado define o subespaço
W = \Span\bigl\{(1,2,3,0),\;(0,k,2,0),\;(1,2,k,0),\;(0,0,0,1)\bigr\} \subseteq \mathbb{R}^4
e pede:
(a) para quais k temos W=\mathbb{R}^4?
(b) para k=3, encontrar uma base e a dimensão de W;
(c) para k=0, verificar se (1,2,1,1)\in W.
O conteúdo envolve independência linear (dimensão e det) e teste de pertencimento via combinação linear.
Passo 2
Para (a) precisamos que \dim W=4, isto é, que os quatro vetores sejam linhamente independentes em \mathbb{R}^4. Colocando-os como linhas de uma matriz 4\times4 e calculando seu determinante, obtemos ao expandir pela quarta coluna (que tem zeros, exceto um 1 na última linha) que
\det = 1\;\det\!\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 0 & k & 2\\\\ 1 & 2 & k \end{pmatrix}.
Passo 3
Calculamos o determinante do bloco 3\times3:
\det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 0 & k & 2\\\\ 1 & 2 & k \end{pmatrix} =1\cdot(k\cdot k - 2\cdot2) -2\cdot(0\cdot k - 2\cdot1) +3\cdot(0\cdot2 - k\cdot1)
= (k^2 - 4) +4 -3k = k^2 -3k = k(k-3).
Logo o determinante full é k(k-3). Para gerar \mathbb{R}^4 precisamos \det\neq0, isto é,
Note que v_3=v_1, logo sobra o conjunto \{v_1,v_2,v_4\}. São três vetores que não se anulam em combinação linear trivial (as projeções na quarta coordenada isolam v_4, e os dois primeiros não são escalares um do outro). Assim
Queremos (1,2,1,1)=a\,v_1+b\,v_2+c\,v_3+d\,v_4. Das coordenadas:
a+c=1,\quad 2a+2c=2,\quad 3a+2b=1,\quad d=1.
As duas primeiras dão a mesma equação a+c=1. Da terceira vem b=(1-3a)/2, e da quarta d=1. Há solução real (por ex. a=0,c=1,b=1/2,d=1), logo (1,2,1,1)\in W.
Resposta
(a) W=\mathbb{R}^4 se, e somente se, k\neq0 e k\neq3.
(b) Para k=3, uma base de W é \{(1,2,3,0),\,(0,3,2,0),\,(0,0,0,1)\} e \dim W=3.
(c) Para k=0, sim, (1,2,1,1)\in W.