Verifique se W é subespaço vetorial de V e determine uma base e dimensão do subespaço W :
W=\left\{p \in P_{4}(\mathbb{R}): p^{\prime}(t)=0, \forall t \in \mathbb{R}\right\}, V=P_{4}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado define V = P_{4}(\mathbb{R}) e
W = \{\,p \in P_{4}(\mathbb{R}) \mid p'(t)=0 \;\forall t\in\mathbb{R}\}.
O conteúdo é verificar se W é um subespaço vetorial de V e, em seguida, encontrar uma base e a dimensão de W.

Passo 2

Para mostrar que W é subespaço de V verificamos três propriedades.
O polinômio nulo p(t)=0 satisfaz p'(t)=0, logo 0\in W.
Se p,q\in W então
(p+q)' = p' + q' = 0 + 0 = 0,
portanto p+q\in W.
Se p\in W e \alpha\in\mathbb{R} então
(\alpha p)' = \alpha\,p' = \alpha\cdot0 = 0,
logo \alpha p\in W.
Assim, W é subespaço vetorial de V.

Passo 3

A condição p'(t)=0 para todo t implica que p é um polinômio constante, ou seja,
p(t) = c,
com c\in\mathbb{R}. Portanto
W = \{\,c \mid c\in\mathbb{R}\}.

Passo 4

Todo polinômio em W pode ser escrito como c\cdot1. O conjunto \{1\} gera W e é linearmente independente, portanto é uma base de W. Como há exatamente um vetor na base,
\dim W = 1.

Resposta

W é subespaço vetorial de V.
Uma base de W é \{1\} e \dim W = 1.

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