Questão 04) Considere a base B em R3 formada pelos vetores ( 1,0,1 ),
  • 25 pontos (1,1,1) e ( 1,1,2 ). Considere também a base C formada pelos vetores (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1).
Assinale a matriz mudança de base de B para C (vetores da base de C escritos como combinação dos vetores da base de B)

Passo 1

O enunciado dá a base
B = lb1=(1,0,1),;b2=(1,1,1),;b3=(1,1,2)r
e a base canônica
C = e1=(1,0,0),;e2=(0,1,0),;e3=(0,0,1)
Queremos a matriz de mudança de base de B para C em que cada coluna é a expressão de ej como combinação linear de b1,b2,b3. Se chamarmos essa matriz de M, então
B,M = I3,
ou seja,
M = B^-1

Passo 2

Escrevemos a matriz cujas colunas são os vetores de B em coordenadas canônicas:
B = 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 1 & 1 & 2
Para encontrar M resolvemos B,M=I, isto é, calculamos B^-1.

Passo 3

Primeiro o determinante de B:
det(B) =1cdotdet1&11&2 -1cdotdet0&11&2 +1cdotdet0&11&1 =1cdot(2-1)-1cdot(0-1)+1cdot(0-1) =1+1-1=1
Como det(B)=1neq0, B é invertível.

Passo 4

Calculamos a matriz de cofatores e, em seguida, a adjunta para obter
B^-1 =1det(B)adj(B) =adj(B) = 1 & -1 & 0 1 & 1 & -1 -1& 0 & 1

Resposta

1 & -1 & 0 1 & 1 & -1 -1& 0 & 1

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