1. Determine a dimensão do seguinte subespaço de \mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}) : W=\left\{P(x) \in \mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}) ; P(1)=0\right\}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado define o espaço \mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}): o espaço de todos os polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a 4.
  • É dado o subconjunto W=\left\{P(x)\in\mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}) \;:\; P(1)=0\right\}.
  • O que o enunciado pede: determinar a dimensão do subespaço W.
Essas são todas as informações úteis que temos: o espaço ambiente \mathcal{P}_4(\mathbb{R}) e a condição linear P(1)=0. Agora vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Escrever um polinômio genérico de \mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}) e traduzir a condição P(1)=0.
Um polinômio genérico P\in\mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}) pode ser escrito como
P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4,
onde os coeficientes a_0,a_1,a_2,a_3,a_4\in\mathbb{R}.
A condição P(1)=0 significa
P(1)=a_0+a_1+a_2+a_3+a_4=0.
Portanto os coeficientes do polinômio satisfazem essa equação linear entre si.

Passo 3

Método 1 — contagem de graus de liberdade (explicação detalhada).
  • O espaço \mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}) é formado por polinômios descritos por 5 coeficientes independentes ( a_0,\dots,a_4), portanto tem dimensão igual ao número de coeficientes livres.
  • A condição a_0+a_1+a_2+a_3+a_4=0 é uma equação linear não trivial entre esses coeficientes (é não trivial porque, por exemplo, o polinômio constante 1 tem P(1)=1\neq 0, logo a equação não é identicamente zero).
  • Impondo uma única equação linear independente sobre um espaço de dimensão 5 reduz o número de graus de liberdade em uma unidade. Em termos de dimensão, isso dá \dim W = \dim\mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}) - 1.
(Essa é uma maneira direta: parte-se de 5 coeficientes livres e impõe-se uma restrição linear.)

Passo 4

Método 2 — fatoração pelo teorema do resto/raiz e descrição explícita de W.
  • Pelo teorema do resto (ou teorema das raízes): P(1)=0 implica que (x-1) é fator de P(x). Assim, todo P\in W pode ser escrito como P(x)=(x-1)Q(x),para algum polinômio Q(x) com coeficientes reais.
  • Como \deg P\le 4 e um fator (x-1) já contribui com grau 1, tem-se \deg Q\le 3. Ou seja, Q pertence a \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).
  • Isso define uma aplicação linear \Phi:\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R})\to W,\qquad \Phi(Q)=(x-1)Q(x).Essa aplicação é linear e bijetiva (injetiva porque se (x-1)Q(x)\equiv 0 então Q\equiv 0; sobrejetiva por construção), logo é um isomorfismo de espaços vetoriais.
  • Portanto W é isomorfo a \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}), e tem a mesma dimensão de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}): \dim W = \dim\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).
Uma forma concreta de ver uma base de W é dar imagens dos monômios de grau \le 3 por \Phi. Por exemplo, os vetores
(x-1),\quad x(x-1),\quad x^2(x-1),\quad x^3(x-1)
são uma base de W (geram W e são linearmente independentes), o que dá uma descrição concreta do subespaço.

Passo 5

Resumo interpretativo e incentivo.
  • Fizemos duas abordagens: (i) a contagem direta de graus de liberdade a partir da equação linear a_0+\cdots+a_4=0; (ii) a fatoração P(x)=(x-1)Q(x) e o isomorfismo com \mathcal{P}_3(\mathbb{R}). As duas conduzirem à mesma conclusão sobre a dimensão do espaço W.
  • Se estiver nervoso para a prova: memorize que impor uma condição linear independente reduz a dimensão em 1, e que condições do tipo P(\alpha)=0 equivalem a fator (x-\alpha) e, portanto, a uma descrição por polinômios de grau menor.

Resposta

4

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