- Determine a dimensão do seguinte subespaço de
:
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado define o espaço
: o espaço de todos os polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a . - É dado o subconjunto
- O que o enunciado pede: determinar a dimensão do subespaço
.
Essas são todas as informações úteis que temos: o espaço ambiente
e a condição linear
. Agora vamos resolver passo a passo.
Passo 2
Escrever um polinômio genérico de
e traduzir a condição
.
Um polinômio genérico
pode ser escrito como
onde os coeficientes
.
A condição
significa
Portanto os coeficientes do polinômio satisfazem essa equação linear entre si.
Passo 3
Método 1 — contagem de graus de liberdade (explicação detalhada).
- O espaço
é formado por polinômios descritos por coeficientes independentes ( ), portanto tem dimensão igual ao número de coeficientes livres. - A condição
é uma equação linear não trivial entre esses coeficientes (é não trivial porque, por exemplo, o polinômio constante tem , logo a equação não é identicamente zero). - Impondo uma única equação linear independente sobre um espaço de dimensão
reduz o número de graus de liberdade em uma unidade. Em termos de dimensão, isso dá
(Essa é uma maneira direta: parte-se de 5 coeficientes livres e impõe-se uma restrição linear.)
Passo 4
Método 2 — fatoração pelo teorema do resto/raiz e descrição explícita de
.
- Pelo teorema do resto (ou teorema das raízes):
implica que é fator de . Assim, todo pode ser escrito como para algum polinômio com coeficientes reais. - Como
e um fator já contribui com grau , tem-se . Ou seja, pertence a . - Isso define uma aplicação linear
Essa aplicação é linear e bijetiva (injetiva porque se então ; sobrejetiva por construção), logo é um isomorfismo de espaços vetoriais. - Portanto
é isomorfo a , e tem a mesma dimensão de :
Uma forma concreta de ver uma base de
é dar imagens dos monômios de grau
por
. Por exemplo, os vetores
são uma base de
(geram
e são linearmente independentes), o que dá uma descrição concreta do subespaço.
Passo 5
Resumo interpretativo e incentivo.
- Fizemos duas abordagens: (i) a contagem direta de graus de liberdade a partir da equação linear
; (ii) a fatoração e o isomorfismo com . As duas conduzirem à mesma conclusão sobre a dimensão do espaço . - Se estiver nervoso para a prova: memorize que impor uma condição linear independente reduz a dimensão em
, e que condições do tipo equivalem a fator e, portanto, a uma descrição por polinômios de grau menor.