O que vou fazer (sem ainda calcular): uma base de W é um conjunto de vetores em W que geram W e são linearmente independentes. Para verificar independência linear entre v_1,v_2,v_3 vou montar uma matriz cujas linhas (ou colunas) sejam esses vetores e aplicar eliminação de Gauss. Se as três linhas resultarem em linhas não nulas (três pivôs), os três vetores são linearmente independentes e então já formam uma base; se houver dependência, sobrarão menos pivôs e eu escolho os vetores correspondentes aos pivôs como base.
Vou usar os vetores como linhas da matriz (isso facilita visualizar linearidade entre eles) e reduzir por linhas.
A matriz está em forma escalonada e vemos três linhas não nulas. Isso significa que as três linhas originais são linearmente independentes (não existe combinação linear não-trivial que dê a linha zero). Em termos de dimensões: o posto (rank) da matriz é 3, logo \dim(W)=3.
Como v_1,v_2,v_3 são três vetores em \mathbb{R}^4 linearmente independentes, eles já formam uma base de W. Não é necessário transformar mais: a própria família \{v_1,v_2,v_3\} gera W e é independente.
Passo 6
Recapitulando o resultado e exibindo a base escolhida: uma base de W é simplesmente \{v_1,v_2,v_3\} com