1. Seja W o subespaço de \mathbb{R}^{4} gerado pelos vetores v_{1}=(1,-2,3,-3) ; v_{2}=(2,3,1,-4); v_{3}=(3,8,-3,-5).
(a) Ache uma base e a dimensão de W.

Passo 1

O enunciado dá três vetores de \mathbb{R}^4 e pede duas coisas:
  • Encontrar uma base de W=\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}.
  • Determinar a dimensão de W.
Os vetores fornecidos são
v_{1}=(1,-2,3,-3),\qquad v_{2}=(2,3,1,-4),\qquad v_{3}=(3,8,-3,-5).

Passo 2

O que vou fazer (sem ainda calcular): uma base de W é um conjunto de vetores em W que geram W e são linearmente independentes. Para verificar independência linear entre v_1,v_2,v_3 vou montar uma matriz cujas linhas (ou colunas) sejam esses vetores e aplicar eliminação de Gauss. Se as três linhas resultarem em linhas não nulas (três pivôs), os três vetores são linearmente independentes e então já formam uma base; se houver dependência, sobrarão menos pivôs e eu escolho os vetores correspondentes aos pivôs como base.
Vou usar os vetores como linhas da matriz (isso facilita visualizar linearidade entre eles) e reduzir por linhas.

Passo 3

Montando a matriz com v_1,v_2,v_3 como linhas:
A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -3\\[4pt] 2 & 3 & 1 & -4\\[4pt] 3 & 8 & -3 & -5 \end{pmatrix}.
Agora faço operações elementares por linhas para triangularizar.
Primeira rodada: eliminar os elementos abaixo do pivô da primeira coluna usando R_2\leftarrow R_2-2R_1 e R_3\leftarrow R_3-3R_1.
Calculemos:
R_2-2R_1 = (2,3,1,-4) - 2(1,-2,3,-3) = (2,3,1,-4) - (2,-4,6,-6) = (0,7,-5,2),
R_3-3R_1 = (3,8,-3,-5) - 3(1,-2,3,-3) = (3,8,-3,-5) - (3,-6,9,-9) = (0,14,-12,4).
A matriz passa a ser
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -3\\[4pt] 0 & 7 & -5 & 2\\[4pt] 0 & 14 & -12 & 4 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Continuo eliminando: quero zerar o 14 na posição (3,2). Faço R_3\leftarrow R_3-2R_2.
Calculemos:
R_3-2R_2 = (0,14,-12,4) - 2(0,7,-5,2) = (0,14,-12,4)-(0,14,-10,4) = (0,0,-2,0).
A matriz agora é
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -3\\[4pt] 0 & 7 & -5 & 2\\[4pt] 0 & 0 & -2 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

A matriz está em forma escalonada e vemos três linhas não nulas. Isso significa que as três linhas originais são linearmente independentes (não existe combinação linear não-trivial que dê a linha zero). Em termos de dimensões: o posto (rank) da matriz é 3, logo \dim(W)=3.
Como v_1,v_2,v_3 são três vetores em \mathbb{R}^4 linearmente independentes, eles já formam uma base de W. Não é necessário transformar mais: a própria família \{v_1,v_2,v_3\} gera W e é independente.

Passo 6

Recapitulando o resultado e exibindo a base escolhida: uma base de W é simplesmente \{v_1,v_2,v_3\} com
v_{1}=(1,-2,3,-3),\quad v_{2}=(2,3,1,-4),\quad v_{3}=(3,8,-3,-5),
e a dimensão é 3.

Resposta

\{(1,-2,3,-3),\\ (2,3,1,-4),\\ (3,8,-3,-5))
\dim(W)=3

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