Seja w=x^{2} y \cos z. Determine
\partial w / \partial x(2, y, z)

Passo 1

O enunciado dá a função w=x^{2}y\cos z e pede a derivada parcial de w em relação a x no ponto onde x=2 (ou seja, \partial w/\partial x(2,y,z)).
Informações relevantes:
  • A função depende de três variáveis: x, y e z.
  • Queremos a derivada parcial em relação a x, mantendo y e z como constantes, e depois avaliar em x=2.

Passo 2

O que é derivada parcial em relação a x?
Definição intuitiva: \partial w/\partial x mede a taxa de variação de w quando apenas x muda, mantendo y e z fixos. Em termos operacionais, ao calcular \partial/\partial x tratamos y e \cos z como constantes multiplicativas.

Passo 3

Identificar regra de diferenciação a aplicar.
A expressão pode ser vista como produto de fatores em que somente x^{2} depende de x:
w = \bigl(x^{2}\bigr)\cdot y\cdot\cos z.
Aqui y e \cos z são constantes em relação a x. Para derivar usamos a regra da derivada de potência (power rule): a derivada de x^{n} em relação a x é n x^{n-1}. Também usamos que a derivada de uma constante multiplicada por uma função é a constante vezes a derivada da função.

Passo 4

Calcular a derivada parcial simbólica. Tratando y e \cos z como constantes:
\frac{\partial w}{\partial x} = y\cos z \cdot \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr) = y\cos z \cdot 2x = 2x\,y\cos z.

Passo 5

Avaliar em x=2. Substituindo x=2 na expressão obtida:
\frac{\partial w}{\partial x}(2,y,z)=2\cdot 2\cdot y\cos z=4y\cos z.

Resposta

4y\cos z

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