Seja x=1+raiz52. Calcule x^12.
(Resp: 161+72 raiz5 )

Passo 1

O enunciado dá x como a razão áurea x=\tfrac{1+√5}2 e pede x^{12}. Vamos usar o fato de que a razão áurea satisfaz uma relação de recorrência ligada aos números de Fibonacci para calcular potências altas sem expandir direto.

Passo 2

Sabendo que x satisfaz
x^2 = x + 1,
pode-se provar (por indução ou usando a fórmula de Binet) que para todo n inteiro positivo vale
x^n = Fn,x + Fn-1,
onde F_n é o n-ésimo número de Fibonacci (com F_0=0, F_1=1).

Passo 3

Para n=12, os números de Fibonacci relevantes são F_{12}=144 e F_{11}=89. Portanto
x^12 = F12,x + F11 = 144,x + 89

Passo 4

Substituindo x=\tfrac{1+√5}2 obtemos
x^12 = 144cdot1+√52 + 89 = 72(1+√5) + 89 = 72 + 72√5 + 89 = 161 + 72√5

Resposta

(161 + 72 \sqrt{5})

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