Seja
. Calcule
.
(Resp:
)
(Resp:
Passo 1
O enunciado dá x como a razão áurea x=\tfrac{1+√5}2 e pede x^{12}. Vamos usar o fato de que a razão áurea satisfaz uma relação de recorrência ligada aos números de Fibonacci para calcular potências altas sem expandir direto.
Passo 2
Sabendo que x satisfaz
pode-se provar (por indução ou usando a fórmula de Binet) que para todo n inteiro positivo vale
onde F_n é o n-ésimo número de Fibonacci (com F_0=0, F_1=1).
Passo 3
Para n=12, os números de Fibonacci relevantes são F_{12}=144 e F_{11}=89. Portanto
Passo 4
Substituindo x=\tfrac{1+√5}2 obtemos
Resposta
(161 + 72 \sqrt{5})