Seja X: B(10,2 / 5). Calcular:
P(|X-3|>1)

Passo 1

O enunciado dá que X é uma variável aleatória binomial com parâmetros n=10 e p=\tfrac{2}{5}. A pergunta é calcular a probabilidade
P\big(|X-3|>1\big).
Informações relevantes fornecidas:
n=10,\qquad p=\tfrac{2}{5},\qquad q=1-p=\tfrac{3}{5}.
A tarefa é achar a probabilidade de que a distância entre X e 3 seja maior que 1.

Passo 2

Entendimento do evento: a desigualdade |X-3|>1 significa que X está a mais de 1 unidade de 3. Em termos de valores inteiros de X (já que X é binomial e toma valores inteiros de 0 a 10),
|X-3|>1\quad\Longleftrightarrow\quad X>4\\ \text{ou}\\ X<2.
Portanto os valores de X que satisfazem são
X\in\{0,1\}\cup\{5,6,7,8,9,10\}.
Uma forma prática de calcular é usar o complementar:
P\big(|X-3|>1\big)=1-P\big(2\le X\le 4\big).
Vou calcular P(2\le X\le4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4) e subtrair de 1.

Passo 3

Recordando a fórmula da distribuição binomial: para X\sim B(n,p),
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k},
onde \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!} é o número de maneiras de escolher k sucessos em n tentativas. Aqui n=10 e p=\tfrac{2}{5}=0,4, então 1-p=\tfrac{3}{5}=0,6.
Vou calcular P(X=2), P(X=3) e P(X=4) usando essa fórmula.

Passo 4

Cálculo de P(X=2).
Primeiro o coeficiente combinatório:
\binom{10}{2}=\dfrac{10\cdot9}{2\cdot1}=45.
As potências:
p^{2}=(0,4)^{2}=0,16,\qquad (1-p)^{8}=(0,6)^{8}=0,01679616.
Multiplicando:
P(X=2)=45\cdot0,16\cdot0,01679616=0,120932352.

Passo 5

Cálculo de P(X=3).
Coeficiente combinatório:
\binom{10}{3}=\dfrac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=120.
As potências:
p^{3}=(0,4)^{3}=0,064,\qquad (1-p)^{7}=(0,6)^{7}=0,0279936.
Multiplicando:
P(X=3)=120\cdot0,064\cdot0,0279936=0,214990848.

Passo 6

Cálculo de P(X=4).
Coeficiente combinatório:
\binom{10}{4}=210.
As potências:
p^{4}=(0,4)^{4}=0,0256,\qquad (1-p)^{6}=(0,6)^{6}=0,046656.
Multiplicando:
P(X=4)=210\cdot0,0256\cdot0,046656=0,250822656.

Passo 7

Somando as probabilidades do complemento 2\le X\le4:
P(2\le X\le4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)
=0,120932352+0,214990848+0,250822656=0,586745856.

Passo 8

Finalmente calculamos a probabilidade pedida por complemento:
P\big(|X-3|>1\big)=1-P(2\le X\le4)=1-0,586745856=0,413254144.

Resposta

0,413254144

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