A probabilidade de uma pessoa morrer de certa infecção respiratória é de 0,002 .
a) Determine a probabilidade de que menos de cinco dos próximos 2000 infectados morram.
b) Determine a média e a variância do número de pessoas entre as 2000 que morrem de infecção respiratória.
Resp: (b) \mu=\sigma^{2}=4

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação e pede duas coisas.
Dados fornecidos:
n=2000,\qquad p=0{,}002.
Perguntas:
  1. Calcular a probabilidade de que menos de cinco dos próximos 2000 infectados morram, ou seja, P(X<5) onde X é o número de mortes entre os 2000.
  2. Determinar a média e a variância do número de mortes entre os 2000.

Passo 2

Decidindo o método: a variável X originalmente segue uma distribuição Binomial com parâmetros n e p:
X\sim\mathrm{Bin}(n,p).
Para n grande e p pequeno é muito comum e prático aproximar a Binomial por uma Poisson com parâmetro \lambda=np. Isso porque a Poisson é boa quando n é grande, p é pequeno e np é moderado. Aqui:
np=2000\cdot0{,}002=4,
um valor moderado. Portanto a aproximação de Poisson é apropriada e muito usada em provas para simplificar cálculos de probabilidades cumulativas sem calculadora.
Vou usar a aproximação
X\approx Y,\quad Y\sim\mathrm{Poisson}(\lambda),
com \lambda=np=4. Mais adiante eu também apresento as fórmulas exatas para média e variância da Binomial.

Passo 3

Relembrando a definição e fórmula da Poisson: se Y\sim\mathrm{Poisson}(\lambda) então
P(Y=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},\qquad k=0,1,2,\dots
No nosso caso \lambda=4. Para a parte (a) queremos
P(X<5)\approx P(Y<5)=\sum_{k=0}^{4} e^{-4}\frac{4^{k}}{k!}.

Passo 4

Vamos calcular termo a termo a soma da Poisson para k=0,1,2,3,4. Primeiro calculemos e^{-4}. Usarei o valor aproximado
e^{-4}\approx 0{,}018315639.

Passo 5

Agora cada termo da soma:
\begin{aligned} P(Y=0)&=e^{-4}\frac{4^{0}}{0!}=e^{-4}\approx 0{,}018315639,\\[4pt] P(Y=1)&=e^{-4}\frac{4^{1}}{1!}=4e^{-4}\approx 4\cdot0{,}018315639=0{,}073262556,\\[4pt] P(Y=2)&=e^{-4}\frac{4^{2}}{2!}= \frac{16}{2}e^{-4}=8e^{-4}\approx 8\cdot0{,}018315639=0{,}146525112,\\[4pt] P(Y=3)&=e^{-4}\frac{4^{3}}{3!}= \frac{64}{6}e^{-4}\approx 10{,}6666667\cdot e^{-4}\approx 0{,}195366815,\\[4pt] P(Y=4)&=e^{-4}\frac{4^{4}}{4!}= \frac{256}{24}e^{-4}=10{,}6666667\cdot e^{-4}\approx 0{,}195366815. \end{aligned}
Observação rápida e simpática: para \lambda=4 os termos k=3 e k=4 saem iguais porque \dfrac{\lambda^{4}}{4!}=\dfrac{\lambda^{3}}{3!}\cdot\dfrac{\lambda}{4} e aqui \dfrac{\lambda}{4}=1.]

Passo 6

Somando os termos para obter P(Y<5):
\begin{aligned} P(Y<5)&=P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2)+P(Y=3)+P(Y=4)\\[4pt] &\approx 0{,}018315639+0{,}073262556+0{,}146525112+0{,}195366815+0{,}195366815\\[4pt] &\approx 0{,}628836937. \end{aligned}
Arredondando de forma razoável, temos P(X<5)\approx 0{,}6288 (ou 62{,}88\%) usando a aproximação de Poisson.]

Passo 7

Comentário sobre exatidão: a forma exata seria calcular a soma binomial
P(X<5)=\sum_{k=0}^{4}\binom{2000}{k}p^{k}(1-p)^{2000-k},
que daria um valor muito próximo ao obtido pela Poisson. Fazer essa soma exata à mão é impraticável; por isso a Poisson é a escolha natural em prova quando n é grande e p pequeno.

Passo 8

Agora a parte (b): fórmulas para média e variância da Binomial. Para X\sim\mathrm{Bin}(n,p) temos:
\mu=\mathbb{E}[X]=np,\qquad \mathrm{Var}(X)=np(1-p).
Substituindo n=2000 e p=0{,}002:
\mu=np=2000\cdot0{,}002=4.
\mathrm{Var}(X)=np(1-p)=4\cdot(1-0{,}002)=4\cdot0{,}998=3{,}992.

Passo 9

Relação com a Poisson: para a Poisson com \lambda temos \mathbb{E}[Y]=\mathrm{Var}(Y)=\lambda. Como usamos \lambda=np=4 na aproximação, a Poisson dá \mu=4 e \mathrm{Var}=4. Por isso a resposta curta que às vezes aparece em exercícios é \mu=\sigma^{2}=4 (usando a aproximação de Poisson). Mas o valor exato para a binomial é \mathrm{Var}=3{,}992, bem próximo de 4.

Resposta

(a) P(X<5)\approx 0{,}6288.\n
(b) \mu=\mathbb{E}[X]=4,\qquad \mathrm{Var}(X)=np(1-p)=3{,}992 (pela aproximação Poisson dá \mu=\mathrm{Var}=4).

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