A probabilidade de uma pessoa morrer de certa infecção respiratória é de 0,002 .
a) Determine a probabilidade de que menos de cinco dos próximos 2000 infectados morram.
b) Determine a média e a variância do número de pessoas entre as 2000 que morrem de infecção respiratória.
Resp: (b)
a) Determine a probabilidade de que menos de cinco dos próximos 2000 infectados morram.
b) Determine a média e a variância do número de pessoas entre as 2000 que morrem de infecção respiratória.
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação e pede duas coisas.
Dados fornecidos:
Perguntas:
- Calcular a probabilidade de que menos de cinco dos próximos 2000 infectados morram, ou seja,
onde é o número de mortes entre os 2000. - Determinar a média e a variância do número de mortes entre os 2000.
Passo 2
Decidindo o método: a variável
originalmente segue uma distribuição Binomial com parâmetros
e
:
Para
grande e
pequeno é muito comum e prático aproximar a Binomial por uma Poisson com parâmetro
. Isso porque a Poisson é boa quando
é grande,
é pequeno e
é moderado. Aqui:
um valor moderado. Portanto a aproximação de Poisson é apropriada e muito usada em provas para simplificar cálculos de probabilidades cumulativas sem calculadora.
Vou usar a aproximação
com
. Mais adiante eu também apresento as fórmulas exatas para média e variância da Binomial.
Passo 3
Relembrando a definição e fórmula da Poisson: se
então
No nosso caso
. Para a parte (a) queremos
Passo 4
Vamos calcular termo a termo a soma da Poisson para
. Primeiro calculemos
. Usarei o valor aproximado
Passo 5
Agora cada termo da soma:
Observação rápida e simpática: para
os termos
e
saem iguais porque
e aqui
.]
Passo 6
Somando os termos para obter
:
Arredondando de forma razoável, temos
(ou
) usando a aproximação de Poisson.]
Passo 7
Comentário sobre exatidão: a forma exata seria calcular a soma binomial
que daria um valor muito próximo ao obtido pela Poisson. Fazer essa soma exata à mão é impraticável; por isso a Poisson é a escolha natural em prova quando
é grande e
pequeno.
Passo 8
Agora a parte (b): fórmulas para média e variância da Binomial. Para
temos:
Substituindo
e
:
Passo 9
Relação com a Poisson: para a Poisson com
temos
. Como usamos
na aproximação, a Poisson dá
e
. Por isso a resposta curta que às vezes aparece em exercícios é
(usando a aproximação de Poisson). Mas o valor exato para a binomial é
, bem próximo de
.
Resposta
(a)
.\n
(b) (pela aproximação Poisson dá
).
(b)