Seja X a renda familiar em R$1.000 e Y o número de carros da família. Considere o quadro:
X 2 3 4 2 3 3 4 2 2 3
Y 1 2 2 2 1 3 3 1 2 2
Calcule:
E(X) e E(Y);

Passo 1

O enunciado pede para calcular E(X) e E(Y). As observações fornecidas são:
X:\;2,\;3,\;4,\;2,\;3,\;3,\;4,\;2,\;2,\;3
Y:\;1,\;2,\;2,\;2,\;1,\;3,\;3,\;1,\;2,\;2
Número total de observações: n=10.

Passo 2

O que significa E aqui? Como estamos com uma amostra de valores observados, E(X) e E(Y) chamamos de média amostral (esperança empírica). A fórmula prática é a média aritmética:
\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i, \qquad \overline{Y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} Y_i.
Explicando devagar: X_i é cada observação da renda (em milhares de reais), Y_i é cada observação do número de carros, e n é o número total de observações. Para calcular a média somamos todas as observações e dividimos por n.

Passo 3

Calculemos E(X)=\overline{X} somando as observações de X. É mais rápido agrupar valores iguais.
Contagem dos X:
\text{valor }2: \;4\text{ vezes},\qquad \text{valor }3: \;4\text{ vezes},\qquad \text{valor }4: \;2\text{ vezes}.
Soma total das X:
\sum X_i = 2\cdot 4 + 3\cdot 4 + 4\cdot 2 = 8 + 12 + 8 = 28.
Agora a média:
\overline{X}=\frac{1}{10}\cdot 28 = \frac{28}{10}=2,8.
Interpretação: como X está em R$ 1.000, isso significa renda média 2,8 mil reais, isto é R\$2.800{,}00.

Passo 4

Calculemos E(Y)=\overline{Y} somando as observações de Y. Novamente, agrupando:
Contagem dos Y:
\text{valor }1: \;3\text{ vezes},\qquad \text{valor }2: \;5\text{ vezes},\qquad \text{valor }3: \;2\text{ vezes}.
Soma total das Y:
\sum Y_i = 1\cdot 3 + 2\cdot 5 + 3\cdot 2 = 3 + 10 + 6 = 19.
Média:
\overline{Y}=\frac{1}{10}\cdot 19 = \frac{19}{10}=1,9.
Interpretação: o número médio de carros por família é 1,9 carros.

Passo 5

Dica rápida para a prova: quando há muitos valores repetidos, conte as frequências e calcule a soma usando multiplicações (como fizemos), isso economiza tempo e reduz erro de soma. Confirme sempre que n bate com o total das frequências.

Resposta

E(X)=2,8 (em R\$1.000, isto é R\$2.800{,}00)
E(Y)=1,9

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