A distribuição de probabilidade de X , o número de imperfeições por dez metros de um tecido sintético em rolos contínuos de largura igual, é dada por:
X 0 1 2 3 4
P(X) 0,41 0,37 0,16 0,05 0,01
a) Determine o número médio de imperfeições por dez metros desse tecido.
b) Determine a variância e o desvio padrão do número de imperfeições.
Resp: (a) 0,88
(b) \sigma^{2}=0,8456 ; \sigma=0,9196

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de probabilidade de X, o número de imperfeições por dez metros, pela tabela:
\begin{array}{c|ccccc} X & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\hline P(X) & 0,41 & 0,37 & 0,16 & 0,05 & 0,01 \end{array}
As perguntas são:
(a) Determinar o número médio de imperfeições por dez metros (ou seja, a esperança matemática E(X)).
(b) Determinar a variância \sigma^{2}=\operatorname{Var}(X) e o desvio padrão \sigma.

Passo 2

Definição e fórmula para a esperança (média) de uma variável aleatória discreta:
A esperança E(X) é a média ponderada dos valores possíveis de X, cada valor ponderado pela sua probabilidade. A fórmula é
E(X)=\sum_{i} x_i\,P(X=x_i),
onde x_i são os valores que X pode assumir e P(X=x_i) é a probabilidade correspondente. Aqui os x_i são 0,1,2,3,4.

Passo 3

Calculo de E(X) aplicando a fórmula e somando termo a termo:
\begin{aligned} E(X)&=0\cdot 0,41 + 1\cdot 0,37 + 2\cdot 0,16 + 3\cdot 0,05 + 4\cdot 0,01\\[4pt] &=0 + 0,37 + 0,32 + 0,15 + 0,04\\[4pt] &=0,88. \end{aligned}
Interpretação rápida: em média aparecem 0,88 imperfeições a cada dez metros.]

Passo 4

Definição e fórmula para a variância:
A variância mede a dispersão dos valores em torno da média. Uma forma prática de calcular é
\operatorname{Var}(X)=E(X^{2})-\bigl(E(X)\bigr)^{2},
onde E(X^{2}) é a esperança do quadrado da variável, isto é E(X^{2})=\sum x_i^{2}P(X=x_i). Vou calcular E(X^{2}) primeiro.

Passo 5

Calculo de E(X^{2}) termo a termo:
\begin{aligned} E(X^{2})&=0^{2}\cdot 0,41 + 1^{2}\cdot 0,37 + 2^{2}\cdot 0,16 + 3^{2}\cdot 0,05 + 4^{2}\cdot 0,01\\[4pt] &=0 + 0,37 + 4\cdot 0,16 + 9\cdot 0,05 + 16\cdot 0,01\\[4pt] &=0 + 0,37 + 0,64 + 0,45 + 0,16\\[4pt] &=1,62. \end{aligned}]

Passo 6

Agora uso a fórmula da variância com E(X^{2}) e E(X):
\begin{aligned} \operatorname{Var}(X)&=E(X^{2})-\bigl(E(X)\bigr)^{2}\\[4pt] &=1,62 - (0,88)^{2}\\[4pt] &=1,62 - 0,7744\\[4pt] &=0,8456. \end{aligned}]

Passo 7

Desvio padrão: é a raiz quadrada da variância, \sigma=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}. Calculando:
\sigma=\sqrt{0,8456}\approx 0,9196.
Interpretação: o desvio típico do número de imperfeições em relação à média é cerca de 0,92 imperfeições por dez metros.

Resposta

(a) 0,88
(b) \sigma^{2}=0,8456 ; \sigma=0,9196

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