Seja
. Usando aproximação, calcular
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória
que segue uma distribuição binomial com parâmetros
e
. Isso significa que estamos repetindo 200 vezes um experimento que tem 4% de chance de sucesso em cada tentativa. O que a gente quer é calcular a probabilidade de exatamente 6 sucessos, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar uma aproximação da distribuição binomial, que torna os cálculos mais fáceis quando os números são grandes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da distribuição binomial. Ela nos dá a probabilidade de obter exatamente
sucessos em
tentativas, com a probabilidade de sucesso
em cada tentativa. A fórmula é:
Mas calcular isso diretamente para
pode ser meio trabalhoso, então a gente vai usar uma aproximação mais simples.
Passo 3
Como temos
grande (200) e
relativamente pequeno (0,04), uma boa alternativa é usar a aproximação normal para a distribuição binomial. Para isso, precisamos calcular a média (
) e o desvio padrão (
) da distribuição binomial:
Passo 4
Agora, para usar a aproximação normal, a gente transforma o valor
em um valor
padronizado. Mas, para melhorar a aproximação, usamos a continuidade, ajustando o valor para
e
. A fórmula do
é:
Vamos calcular para
:
Passo 5
Com os valores
e
, consultamos a tabela da distribuição normal padrão ou usamos uma calculadora para encontrar as probabilidades correspondentes:
Então, a probabilidade de
é:
Resposta
A probabilidade de exatamente 6 sucessos é aproximadamente
, ou 11%.