Seja X B(200 ; 0,04). Usando aproximação, calcular P(X=6).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória X que segue uma distribuição binomial com parâmetros n = 200 e p = 0,04. Isso significa que estamos repetindo 200 vezes um experimento que tem 4% de chance de sucesso em cada tentativa. O que a gente quer é calcular a probabilidade de exatamente 6 sucessos, ou seja, P(X = 6). Para resolver isso, vamos usar uma aproximação da distribuição binomial, que torna os cálculos mais fáceis quando os números são grandes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da distribuição binomial. Ela nos dá a probabilidade de obter exatamente k sucessos em n tentativas, com a probabilidade de sucesso p em cada tentativa. A fórmula é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Mas calcular isso diretamente para n = 200 pode ser meio trabalhoso, então a gente vai usar uma aproximação mais simples.

Passo 3

Como temos n grande (200) e p relativamente pequeno (0,04), uma boa alternativa é usar a aproximação normal para a distribuição binomial. Para isso, precisamos calcular a média ( mu) e o desvio padrão ( sigma) da distribuição binomial:
mu = n cdot p = 200 cdot 0,04 = 8
sigma = raizn cdot p cdot (1 - p) = raiz200 cdot 0,04 cdot 0,96 approx raiz7,68 approx 2,77

Passo 4

Agora, para usar a aproximação normal, a gente transforma o valor X = 6 em um valor z padronizado. Mas, para melhorar a aproximação, usamos a continuidade, ajustando o valor para 5,5 e 6,5. A fórmula do z é:
z = X + 0,5 - musigma
Vamos calcular para X = 6:
z1 = 5,5 - 82,77 approx -2,52,77 approx -0,90
z2 = 6,5 - 82,77 approx -1,52,77 approx -0,54

Passo 5

Com os valores z1 e z2, consultamos a tabela da distribuição normal padrão ou usamos uma calculadora para encontrar as probabilidades correspondentes:
P(z < -0,54) approx 0,2946
P(z < -0,90) approx 0,1841
Então, a probabilidade de X = 6 é:
P(5,5 < X < 6,5) approx P(z < -0,54) - P(z < -0,90) approx 0,2946 - 0,1841 = 0,1105

Resposta

A probabilidade de exatamente 6 sucessos é aproximadamente 0,11, ou 11%.

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