A idade dos assinantes de um jornal é uma variável aleatória com densidade Normal com média 35.5 anos e desvio padrão 4.8 anos. Calcule as seguintes probabilidades:
b) De que um assinante escolhido aleatoriamente tenha mais que 40 anos;
b) De que um assinante escolhido aleatoriamente tenha mais que 40 anos;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala que a idade dos assinantes de um jornal segue uma distribuição Normal com média de 35,5 anos e desvio padrão de 4,8 anos. A gente precisa calcular a probabilidade de um assinante escolhido aleatoriamente ter mais de 40 anos. Para isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados à distribuição Normal e padronização.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma distribuição Normal. É aquela famosa “curva em forma de sino” que mostra como os dados estão distribuídos em torno da média. A média aqui é 35,5 anos, e o desvio padrão, que indica o quanto as idades variam em relação à média, é de 4,8 anos.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de uma idade ser maior que 40 anos, ou seja, $ P(X > 40) $. Para isso, vamos padronizar essa variável usando a fórmula de padronização:
Onde:
- $ X $ é o valor que queremos (40 anos),
- $ \mu $ é a média (35,5 anos),
- $ \sigma $ é o desvio padrão (4,8 anos).
Passo 4
Vamos calcular o valor de $ Z $:
Então, o valor padronizado $ Z $ é aproximadamente 0,94.
Passo 5
Agora, queremos saber a probabilidade de $ Z $ ser maior que 0,94, ou seja, $ P(Z > 0,94) $. Para isso, consultamos a tabela da distribuição normal padrão ou usamos uma calculadora de probabilidades.
Passo 6
Consultando a tabela da distribuição Normal, encontramos que a probabilidade de $ Z $ ser menor que 0,94 é aproximadamente 0,8264. Mas como queremos a probabilidade de ser maior, fazemos:
Resposta
A probabilidade de um assinante escolhido aleatoriamente ter mais de 40 anos é de aproximadamente 17,36%.