A idade dos assinantes de um jornal é uma variável aleatória com densidade Normal com média 35.5 anos e desvio padrão 4.8 anos. Calcule as seguintes probabilidades:
a) De que um assinante escolhido aleatoriamente tenha entre 30 e 40 anos;
a) De que um assinante escolhido aleatoriamente tenha entre 30 e 40 anos;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre as idades dos assinantes de um jornal, que seguem uma distribuição Normal. A média das idades é de 35,5 anos e o desvio padrão é de 4,8 anos. O que a gente precisa descobrir é a probabilidade de um assinante escolhido ao acaso ter entre 30 e 40 anos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística sobre a distribuição Normal e aprender a calcular probabilidades usando a padronização.
Passo 2
Primeiro, é importante entender o que é uma distribuição Normal. É uma distribuição de probabilidade contínua que é simétrica em torno da média, mostrando que os dados próximos à média são mais frequentes. Para trabalhar com ela, usamos a média (μ) e o desvio padrão (σ). No nosso caso, μ = 35,5 anos e σ = 4,8 anos.
Passo 3
Para encontrar a probabilidade de a idade estar entre 30 e 40 anos, a gente precisa transformar esses valores em escores z, que são valores padronizados que indicam quantos desvios padrão um valor está da média. A fórmula para calcular o escore z é:
Onde:
- $ X $ é o valor que queremos padronizar,
- $ \mu $ é a média,
- $ \sigma $ é o desvio padrão.
Vamos calcular o z para 30 anos e para 40 anos.
Passo 4
Calculando o z para 30 anos:
E para 40 anos:
Passo 5
Agora, vamos usar a tabela da distribuição Normal padrão (Tabela Z) para encontrar as probabilidades correspondentes a esses escores z.
- Para $ z_1 \approx -1,15 $, a probabilidade acumulada até esse valor é aproximadamente 0,1251.
- Para $ z_2 \approx 0,94 $, a probabilidade acumulada até esse valor é aproximadamente 0,8264.
Para encontrar a probabilidade de um assinante ter entre 30 e 40 anos, subtraímos a probabilidade menor da maior:
Resposta
A probabilidade de um assinante escolhido aleatoriamente ter entre 30 e 40 anos é de aproximadamente 70,13%.