Seja
um sistema de equações lineares, com
uma matriz de ordem
e
um vetor de ordem
. Analise a veracidade das seguintes alternativas:
(1) Se
tiver posto máximo, então a solução do sistema é única;
(2) Se, no item anterior, tivermos
, então a solução é única;
(3) Se o vetor
for combinação linear das colunas da matriz
, então o sistema tem pelo menos uma solução;
(4) Se
for uma matriz diagonal com determinante
, então a média geométrica de
é inversamente proporcional a
, em que (
) é solução do sistema.
© Se
for uma matriz quadrada não nula com determinante nulo, então o sistema nunca tem solução;
(1) Se
(2) Se, no item anterior, tivermos
(3) Se o vetor
(4) Se
© Se
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear
onde
é uma matriz de ordem
e
é um vetor coluna de ordem
. São propostas cinco afirmações para eu analisar a veracidade:
(1) Se
tiver posto máximo, então a solução do sistema é única.
(2) Se, no item anterior, tivermos , então a solução é única.
(3) Se o vetor for combinação linear das colunas da matriz
, então o sistema tem pelo menos uma solução.
(4) Se for uma matriz diagonal com determinante
, então a média geométrica de
é inversamente proporcional a
, em que
é solução do sistema.
(5) Se for uma matriz quadrada não nula com determinante nulo, então o sistema nunca tem solução.
(2) Se, no item anterior, tivermos
(3) Se o vetor
(4) Se
(5) Se
Vou verificar cada afirmação, usando as informações dadas. Não começo a resolver ainda; apenas listei o que o enunciado pede e os dados relevantes.
Passo 2
Conceitos-chave que vou usar (explicados de forma simples):
-
Definição de posto (rank):
é o número máximo de colunas linearmente independentes de (ou o número máximo de linhas independentes). Para uma matriz vale always . -
Posto máximo: significa
. Isso quer dizer que tem o maior posto possível dado seu tamanho. -
Condição de consistência (teorema de Rouché–Capelli): o sistema
tem solução se, e somente se,
onde
é a matriz aumentada. Se isso ocorre chamamos o sistema de consistente; caso contrário é inconsistente.
-
Número de soluções:
- Se o sistema é consistente e
(número de incógnitas), então a solução é única. - Se o sistema é consistente e
, então há infinitas soluções (existem graus de liberdade). - Se o sistema é inconsistente, não há solução.
- Se o sistema é consistente e
-
Para matriz quadrada
, é equivalente a e garante solução única para qualquer . Se , então e o sistema pode ser consistente (infinitas soluções) ou inconsistente (nenhuma solução).
Esses resultados são o que vou usar para avaliar as afirmações.
Passo 3
Avaliação da afirmação (1): “Se
tiver posto máximo, então a solução do sistema é única.”
-
Primeiro interpreto “posto máximo” como
. Isso é o significado padrão. -
Se
(ou seja, ) então posto máximo significa . Nesse caso, se o sistema for consistente (isto é, ), tem solução única. Assim para o caso e posto máximo a solução é única (sempre que o sistema seja consistente; na prática para a consistência vale para todo ? cuidado: se e , então as colunas de geram um subespaço de dimensão em . Nem todo está necessariamente nesse subespaço, mas Rouché–Capelli diz que se então existe solução única. Em resumo: posto máximo com permite solução única quando o sistema é consistente; frequentemente se fala que posto das colunas igual a implica solução única para qualquer ? Não — só garante que, se existe solução, ela é única; mas na verdade se as colunas têm dimensão (colunas independentes) então os vetores coluna geram um subespaço de dimensão ; para todo no espaço coluna haverá solução única. Nem todo arbitrário pertence ao espaço coluna, então a consistência precisa ser verificada. Porém se e , geralmente o conjunto de colunas tem dimensão e tipicamente para um genérico pode ser que não pertença, mas a condição de posto das colunas igual a costuma ser apresentada como suficiente para que a equação tenha solução única para cada em ? Atenção: só uma matriz quadrada invertível (quando e posto ) garante solução única para todo . Para e posto não há garantia de solução para todo , apenas que, se consistente, a solução é única. -
Se
(ou seja, ) então posto máximo significa . Mas nesse caso (quando ), portanto e, se o sistema for consistente, terá infinitas soluções (graus de liberdade ). Logo não é verdade que posto máximo implique sempre solução única. -
Exemplo concreto que contradiz a afirmativa (mostrando que a afirmação, como dada, é falsa): tome
Aqui
,
,
(posto máximo). As equações são
e
livre; ou seja, há infinitas soluções. Portanto a afirmação (1) é falsa como enunciada.]
Passo 4
Avaliação da afirmação (2): “Se, no item anterior, tivermos
, então a solução é única.”
- Pelo raciocínio do passo anterior, quando
o posto máximo é . Mas neste caso , então mesmo quando o sistema for consistente teremos graus de liberdade e, portanto, infinitas soluções. Logo a solução não é única. Um exemplo foi o do passo anterior: e houve infinitas soluções. - Conclusão: a afirmação (2) é falsa.
Passo 5
Avaliação da afirmação (3): “Se o vetor
for combinação linear das colunas da matriz
, então o sistema tem pelo menos uma solução.”
- Isto é quase a definição de espaço coluna. Se existe vetor
tal que , então é combinação linear das colunas de . Inversamente, se é combinação linear das colunas de , então existem escalares (componentes de algum vetor ) que dão essa combinação, ou seja existe tal que . - Em termos de posto:
pertence à coluna de o sistema é consistente. - Portanto a afirmação (3) é verdadeira. Exemplo simples: se
e primeira coluna segunda coluna , então claramente é combinação linear das colunas e é solução.]
Passo 6
Avaliação da afirmação (4): “Se
for uma matriz diagonal com determinante
, então a média geométrica de
é inversamente proporcional a
, em que
é solução do sistema.”
- Se
é diagonal e invertível, escrevo com cada . A equação resulta em termos independentes:
logo
- O determinante de
é
- A média geométrica dos
é
- Portanto a média geométrica é igual a
. Afirmação de proporcionalidade inversa a significa que a média geométrica é da forma com uma constante que não depende de . Observa-se pela fórmula que o numerador é , que depende de (e não é uma constante universal). Em geral essa quantidade depende de e também pode depender de indiretamente se variar com . - Para ver que a afirmação, como escrita, é falsa em geral, basta dar um contraexemplo numérico: tome
,
Então
,
. A solução é
e a média geométrica é
. Se fosse inversamente proporcional a
então teria que ser
com alguma constante
fixa; mas trocando
para
(mesmo
), a média geométrica passa a ser
. Logo a média geométrica não é simplesmente proporcional a
independentemente de
. Assim a afirmação (4) é falsa como enunciada (ela ignora a dependência de
).]
Passo 7
Avaliação da afirmação (5) (símbolo © no enunciado): “Se
for uma matriz quadrada não nula com determinante nulo, então o sistema nunca tem solução.”
- Uma matriz quadrada com determinante nulo é uma matriz singular, isto é
. Isso NÃO implica automaticamente que o sistema seja inconsistente. Existem dois casos possíveis: - Se
pertence ao espaço coluna de (isto é, ), então o sistema é consistente e terá infinitas soluções (porque ). - Se
não pertence ao espaço coluna, então o sistema é inconsistente e não tem solução.
- Se
- Portanto a afirmação “então o sistema nunca tem solução” é falsa: pode ter solução (infinitas) ou não, depende de
. - Exemplo concreto de sistema com
mas com solução: tome
Aqui
. As linhas são dependentes e
está na combinação correta das colunas; o sistema é consistente e tem infinitas soluções (por exemplo
para qualquer
). Então a afirmação é falsa.]
Passo 8
Resumo das conclusões (cada item com justificativa curta):
- (1) Falsa: posto máximo não garante solução única nos casos
; é necessário analisar relação entre e consistência. - (2) Falsa: se
e posto máximo então , o que gera infinitas soluções quando o sistema é consistente. - (3) Verdadeira: dizer que
é combinação linear das colunas de é, por definição, a existência de solução . - (4) Falsa: para matriz diagonal invertível a média geométrica dos
vale ; isso não implica proporcionalidade inversa a a menos que seja constante. - (5) Falsa: determinant zero (matriz singular) permite tanto ausência de solução quanto infinitas soluções; não implica “nunca tem solução”.
Resposta
(1) Falsa
(2) Falsa
(3) Verdadeira
(4) Falsa
(5) Falsa
(2) Falsa
(3) Verdadeira
(4) Falsa
(5) Falsa