Seja A(x)=b um sistema de equações lineares, com A uma matriz de ordem m \times n e b um vetor de ordem m \times 1. Analise a veracidade das seguintes alternativas:
(1) Se A tiver posto máximo, então a solução do sistema é única;
(2) Se, no item anterior, tivermos m<n, então a solução é única;
(3) Se o vetor b for combinação linear das colunas da matriz A, então o sistema tem pelo menos uma solução;
(4) Se A for uma matriz diagonal com determinante |A| \neq 0, então a média geométrica de x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} é inversamente proporcional a \sqrt[n]{|A|}, em que ( x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} ) é solução do sistema.
© Se A for uma matriz quadrada não nula com determinante nulo, então o sistema nunca tem solução;

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear A x = b onde A é uma matriz de ordem m\times n e b é um vetor coluna de ordem m\times 1. São propostas cinco afirmações para eu analisar a veracidade:
(1) Se A tiver posto máximo, então a solução do sistema é única.
(2) Se, no item anterior, tivermos m<n, então a solução é única.
(3) Se o vetor b for combinação linear das colunas da matriz A, então o sistema tem pelo menos uma solução.
(4) Se A for uma matriz diagonal com determinante |A|\neq 0, então a média geométrica de x_{1},x_{2},\ldots,x_{n} é inversamente proporcional a \sqrt[n]{|A|}, em que (x_{1},\ldots,x_{n}) é solução do sistema.
(5) Se A for uma matriz quadrada não nula com determinante nulo, então o sistema nunca tem solução.
Vou verificar cada afirmação, usando as informações dadas. Não começo a resolver ainda; apenas listei o que o enunciado pede e os dados relevantes.

Passo 2

Conceitos-chave que vou usar (explicados de forma simples):
  • Definição de posto (rank): \operatorname{rank}(A) é o número máximo de colunas linearmente independentes de A (ou o número máximo de linhas independentes). Para uma matriz m\times n vale always \operatorname{rank}(A)\le\min(m,n).
  • Posto máximo: significa \operatorname{rank}(A)=\min(m,n). Isso quer dizer que A tem o maior posto possível dado seu tamanho.
  • Condição de consistência (teorema de Rouché–Capelli): o sistema A x=b tem solução se, e somente se,
\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b]),
onde [A\mid b] é a matriz aumentada. Se isso ocorre chamamos o sistema de consistente; caso contrário é inconsistente.
  • Número de soluções:
    • Se o sistema é consistente e \operatorname{rank}(A)=n (número de incógnitas), então a solução é única.
    • Se o sistema é consistente e \operatorname{rank}(A)=r<n, então há infinitas soluções (existem n-r graus de liberdade).
    • Se o sistema é inconsistente, não há solução.
  • Para matriz quadrada n\times n, |A|\neq 0 é equivalente a \operatorname{rank}(A)=n e garante solução única para qualquer b. Se |A|=0, então \operatorname{rank}(A)<n e o sistema pode ser consistente (infinitas soluções) ou inconsistente (nenhuma solução).
Esses resultados são o que vou usar para avaliar as afirmações.

Passo 3

Avaliação da afirmação (1): “Se A tiver posto máximo, então a solução do sistema é única.”
  • Primeiro interpreto “posto máximo” como \operatorname{rank}(A)=\min(m,n). Isso é o significado padrão.
  • Se \min(m,n)=n (ou seja, n\le m) então posto máximo significa \operatorname{rank}(A)=n. Nesse caso, se o sistema for consistente (isto é, \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b])), tem solução única. Assim para o caso n\le m e posto máximo a solução é única (sempre que o sistema seja consistente; na prática para \operatorname{rank}(A)=n a consistência vale para todo b? cuidado: se \operatorname{rank}(A)=n e n\le m, então as colunas de A geram um subespaço de dimensão n em \mathbb{R}^m. Nem todo b está necessariamente nesse subespaço, mas Rouché–Capelli diz que se \operatorname{rank}([A\mid b])=\operatorname{rank}(A)=n então existe solução única. Em resumo: posto máximo com \min(m,n)=n permite solução única quando o sistema é consistente; frequentemente se fala que posto das colunas igual a n implica solução única para qualquer b ? Não — só garante que, se existe solução, ela é única; mas na verdade se as colunas têm dimensão n (colunas independentes) então os vetores coluna geram um subespaço de dimensão n; para todo b no espaço coluna haverá solução única. Nem todo b arbitrário pertence ao espaço coluna, então a consistência precisa ser verificada. Porém se m\ge n e \operatorname{rank}(A)=n, geralmente o conjunto de colunas tem dimensão n e tipicamente para um b genérico pode ser que não pertença, mas a condição de posto das colunas igual a n costuma ser apresentada como suficiente para que a equação Ax=b tenha solução única para cada b em \mathbb{R}^m ? Atenção: só uma matriz quadrada invertível (quando m=n e posto n) garante solução única para todo b. Para m>n e posto n não há garantia de solução para todo b, apenas que, se consistente, a solução é única.
  • Se \min(m,n)=m (ou seja, m\le n) então posto máximo significa \operatorname{rank}(A)=m. Mas nesse caso \operatorname{rank}(A)=m<n (quando m<n), portanto \operatorname{rank}(A)<n e, se o sistema for consistente, terá infinitas soluções (graus de liberdade n-m>0). Logo não é verdade que posto máximo implique sempre solução única.
  • Exemplo concreto que contradiz a afirmativa (mostrando que a afirmação, como dada, é falsa): tome
A=\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]0&1&0\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Aqui m=2, n=3, \operatorname{rank}(A)=2=\min(2,3) (posto máximo). As equações são x_1=1,\\ x_2=1 e x_3 livre; ou seja, há infinitas soluções. Portanto a afirmação (1) é falsa como enunciada.]

Passo 4

Avaliação da afirmação (2): “Se, no item anterior, tivermos m<n, então a solução é única.”
  • Pelo raciocínio do passo anterior, quando m<n o posto máximo é \operatorname{rank}(A)=m. Mas neste caso \operatorname{rank}(A)=m<n, então mesmo quando o sistema for consistente teremos n-m>0 graus de liberdade e, portanto, infinitas soluções. Logo a solução não é única. Um exemplo foi o do passo anterior: m=2<n=3 e houve infinitas soluções.
  • Conclusão: a afirmação (2) é falsa.

Passo 5

Avaliação da afirmação (3): “Se o vetor b for combinação linear das colunas da matriz A, então o sistema tem pelo menos uma solução.”
  • Isto é quase a definição de espaço coluna. Se existe vetor x tal que A x=b, então b é combinação linear das colunas de A. Inversamente, se b é combinação linear das colunas de A, então existem escalares (componentes de algum vetor x) que dão essa combinação, ou seja existe x tal que A x=b.
  • Em termos de posto: b pertence à coluna de A \iff \operatorname{rank}([A\mid b])=\operatorname{rank}(A) \iff o sistema é consistente.
  • Portanto a afirmação (3) é verdadeira. Exemplo simples: se A=\begin{pmatrix}1&2\\[4pt]3&4\end{pmatrix} e b=1\cdot primeira coluna +0\cdot segunda coluna =\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}, então claramente b é combinação linear das colunas e x=(1,0)^T é solução.]

Passo 6

Avaliação da afirmação (4): “Se A for uma matriz diagonal com determinante |A|\neq 0, então a média geométrica de x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} é inversamente proporcional a \sqrt[n]{|A|}, em que (x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}) é solução do sistema.”
  • Se A é diagonal e invertível, escrevo A=\operatorname{diag}(a_{11},a_{22},\dots,a_{nn}) com cada a_{ii}\neq 0. A equação A x=b resulta em termos independentes:
a_{ii} x_i = b_i\qquad\text{para }i=1,\dots,n,
logo
x_i=\frac{b_i}{a_{ii}}.
  • O determinante de A é
|A|=\prod_{i=1}^n a_{ii}.
  • A média geométrica dos x_i é
\left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{1/n} = \left(\prod_{i=1}^n \frac{b_i}{a_{ii}}\right)^{1/n} = \frac{\left(\prod_{i=1}^n b_i\right)^{1/n}}{\left(\prod_{i=1}^n a_{ii}\right)^{1/n}} = \frac{\left(\prod_{i=1}^n b_i\right)^{1/n}}{\sqrt[n]{|A|}}.
  • Portanto a média geométrica é igual a \dfrac{\left(\prod_{i=1}^n b_i\right)^{1/n}}{\sqrt[n]{|A|}}. Afirmação de proporcionalidade inversa a \sqrt[n]{|A|} significa que a média geométrica é da forma C/\sqrt[n]{|A|} com uma constante C que não depende de A. Observa-se pela fórmula que o numerador é \left(\prod_{i=1}^n b_i\right)^{1/n}, que depende de b (e não é uma constante universal). Em geral essa quantidade depende de b e também pode depender de A indiretamente se b variar com A.
  • Para ver que a afirmação, como escrita, é falsa em geral, basta dar um contraexemplo numérico: tome n=2,
A=\begin{pmatrix}2&0\\[4pt]0&2\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}2\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Então |A|=4, \sqrt[2]{|A|}=2. A solução é x=(1,1)^T e a média geométrica é (1\cdot 1)^{1/2}=1. Se fosse inversamente proporcional a \sqrt[2]{|A|}=2 então teria que ser C/2 com alguma constante C fixa; mas trocando b para b'=(1,1)^T (mesmo A), a média geométrica passa a ser 1/2. Logo a média geométrica não é simplesmente proporcional a 1/\sqrt[n]{|A|} independentemente de b. Assim a afirmação (4) é falsa como enunciada (ela ignora a dependência de b).]

Passo 7

Avaliação da afirmação (5) (símbolo © no enunciado): “Se A for uma matriz quadrada não nula com determinante nulo, então o sistema nunca tem solução.”
  • Uma matriz quadrada com determinante nulo é uma matriz singular, isto é \operatorname{rank}(A)<n. Isso NÃO implica automaticamente que o sistema A x=b seja inconsistente. Existem dois casos possíveis:
    • Se b pertence ao espaço coluna de A (isto é, \operatorname{rank}([A\mid b])=\operatorname{rank}(A)), então o sistema é consistente e terá infinitas soluções (porque \operatorname{rank}(A)<n).
    • Se b não pertence ao espaço coluna, então o sistema é inconsistente e não tem solução.
  • Portanto a afirmação “então o sistema nunca tem solução” é falsa: pode ter solução (infinitas) ou não, depende de b.
  • Exemplo concreto de sistema com |A|=0 mas com solução: tome
A=\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]2&2\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}3\\[4pt]6\end{pmatrix}.
Aqui |A|=0. As linhas são dependentes e b está na combinação correta das colunas; o sistema é consistente e tem infinitas soluções (por exemplo x=(3-t,t) para qualquer t). Então a afirmação é falsa.]

Passo 8

Resumo das conclusões (cada item com justificativa curta):
  • (1) Falsa: posto máximo não garante solução única nos casos m<n; é necessário analisar relação entre m,n e consistência.
  • (2) Falsa: se m<n e posto máximo então \operatorname{rank}(A)=m<n, o que gera infinitas soluções quando o sistema é consistente.
  • (3) Verdadeira: dizer que b é combinação linear das colunas de A é, por definição, a existência de solução Ax=b.
  • (4) Falsa: para matriz diagonal invertível a média geométrica dos x_i vale \dfrac{(\prod b_i)^{1/n}}{\sqrt[n]{|A|}}; isso não implica proporcionalidade inversa a \sqrt[n]{|A|} a menos que (\prod b_i)^{1/n} seja constante.
  • (5) Falsa: determinant zero (matriz singular) permite tanto ausência de solução quanto infinitas soluções; não implica “nunca tem solução”.

Resposta

(1) Falsa
(2) Falsa
(3) Verdadeira
(4) Falsa
(5) Falsa

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