Uma matriz
é chamada idempotente se
. Uma matriz
é chamada nilpotente se existe um número inteiro positivo
tal que
(matriz com todas as entradas nulas). Classifique as seguintes afirmações segundo a sua veracidade:
- Se
é nilpotente, então existe um número inteiro
tal que
;
- A soma de matrizes nilpotentes é uma matriz nilpotente;
- O determinante de uma matriz idempotente é sempre 1;
- A matriz
é idempotente se, e somente se, (
) é idempotente.
O) O determinante de uma matriz nilpotente é zero;
O) O determinante de uma matriz nilpotente é zero;
Passo 1
O enunciado pede para classificar como verdadeiras ou falsas as afirmações sobre matrizes idempotentes e nilpotentes. As afirmações são (reescrevendo exatamente o que foi dado):
-
Se
é nilpotente, então existe um número inteiro tal que . -
A soma de matrizes nilpotentes é uma matriz nilpotente.
-
O determinante de uma matriz idempotente é sempre
. -
A matriz
é idempotente se, e somente se, é idempotente. -
O determinante de uma matriz nilpotente é zero.
Informações/definições relevantes que o enunciado dá ou que vamos usar (sem resolver ainda):
- Uma matriz
é idempotente se . - Uma matriz
é nilpotente se existe tal que . -
denota a matriz identidade . - Fatos úteis que poderão aparecer:
, em particular ; se é invertível então ; autovalores de satisfazem , etc.
A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Analisando a afirmação 1 e preparando a ideia do argumento. Relembrando a definição:
é nilpotente quando existe
tal que
Chamaremos o menor
com essa propriedade de índice de nilpotência (pode denotar por
). A estratégia padrão para achar a inversa de
quando
é nilpotente é usar a soma geométrica finita:
Vamos ver o produto
e escolher
adequado.
Passo 3
Cálculo elemento-chave para a afirmação 1. Multiplicando:
Expandindo (distribuição):
Cancelam-se todos os termos entre parênteses, sobrando
Agora, se
é nilpotente com índice
, isto é
, então escolha
tal que
(por exemplo
ou
); então
e obtemos
Analogamente
. Portanto
é a inversa de
. Conclusão: existe
(por exemplo
) tal que
Comentário prático: a fórmula funciona porque a soma termina num expoente onde a potência de
é nula. Logo a afirmação 1 é verdadeira.
Passo 4
Analisando a afirmação 2. A afirmação diz: a soma de matrizes nilpotentes é nilpotente. Vou mostrar que isso pode falhar com um contraexemplo pequeno e explícito (você vai ver por que é fácil errar achando que é verdade).
Considere as duas matrizes
Verifiquemos que ambas são nilpotentes:
-
. -
.
Logoe são nilpotentes.
Agora a soma:
Calculemos
:
Como
, a matriz
não é nilpotente. Portanto a soma de duas matrizes nilpotentes pode não ser nilpotente. Conclusão: a afirmação 2 é falsa.]
Passo 5
Analisando a afirmação 3. Vamos usar um argumento sobre autovalores (explicando o conceito) e depois dar contraexemplo simples.
Breve aula sobre autovalores que vou usar: se
é uma matriz
e
é um autovalor com autovetor não-nulo
, então
. Se
satisfaz
e aplicar isso a
, obtém-se
Por outro lado
. Comparando:
Como
, tem-se
, ou seja
Portanto cada autovalor
de uma matriz idempotente satisfaz
. Como o determinante de uma matriz é o produto (contando multiplicidades) de seus autovalores, deduz-se que o determinante de uma matriz idempotente é produto de zeros e uns, isto é o determinante pode ser
ou
dependendo de quantas vezes aparece o autovalor
.
Exemplo concreto que mostra que a afirmação "determinante sempre
" é falsa: a matriz nula
satisfaz
(é idempotente). Mas
. Portanto nem toda matriz idempotente tem determinante
. Conclusão: afirmação 3 é falsa.
Passo 6
Analisando a afirmação 4. Queremos mostrar a equivalência:
se, e somente se,
.
Prova direta (duas direções):
Direção
. Suponha
. Calcule
Usando
na expressão:
Portanto
é idempotente.
Direção
. Suponha
. Expandindo:
Cancelando
e passando termos:
Logo
. Portanto
é idempotente. Conclusão: a equivalência é verdadeira; afirmação 4 é verdadeira.
Comentário intuitivo: a operação
troca os autovalores
quando
é idempotente, por isso preserva a propriedade.
Passo 7
Analisando a afirmação 5. Mostro duas maneiras simples de ver que se
é nilpotente então
.
Método 1 (determinante de potência): se
então tomando determinante em ambos os lados:
Mas
. Assim
, e portanto
. Isso prova que todo nilpotente tem determinante zero.
Método 2 (autovalores): se
e
é um autovalor de
, então
é autovalor de
(aplicando em um autovetor), mas
só tem autovalor
, logo
e assim
. Então todos os autovalores são zero, e o produto dos autovalores (o determinante) é zero.
Exemplo simples: para a matriz nilpotente
do Passo 4, temos
. Conclusão: afirmação 5 é verdadeira.
Passo 8
Resumo final das classificações com justificativas curtas (já demonstradas nos passos anteriores):
- Afirmação 1: verdadeira (usar série geométrica finita até o índice de nilpotência).
- Afirmação 2: falsa (contraexemplo explícito com matrizes
). - Afirmação 3: falsa (autovalores só podem ser
ou ; ex.: matriz zero é idempotente com determinante ). - Afirmação 4: verdadeira (fácil veridades diretas:
). - Afirmação 5: verdadeira (porque
, logo ).
Resposta
- Verdadeira
- Falsa
- Falsa
- Verdadeira
- Verdadeira