Uma matriz M \in \mathrm{R}^{n \times n} é chamada idempotente se M^{2}=M. Uma matriz N \in \mathrm{R}^{n \times n} é chamada nilpotente se existe um número inteiro positivo k tal que N^{K}=0 (matriz com todas as entradas nulas). Classifique as seguintes afirmações segundo a sua veracidade:
  1. Se M \in \mathrm{R}^{n \times n} é nilpotente, então existe um número inteiro r tal que (I-M)^{-1}=I+M+\cdots+M^{r};
  2. A soma de matrizes nilpotentes é uma matriz nilpotente;
  3. O determinante de uma matriz idempotente é sempre 1;
  4. A matriz M \in \mathrm{R}^{n \times n} é idempotente se, e somente se, ( I-M ) é idempotente.
    O) O determinante de uma matriz nilpotente é zero;

Passo 1

O enunciado pede para classificar como verdadeiras ou falsas as afirmações sobre matrizes idempotentes e nilpotentes. As afirmações são (reescrevendo exatamente o que foi dado):
  1. Se M\in\mathbb{R}^{n\times n} é nilpotente, então existe um número inteiro r tal que (I-M)^{-1}=I+M+\cdots+M^{r}.
  2. A soma de matrizes nilpotentes é uma matriz nilpotente.
  3. O determinante de uma matriz idempotente é sempre 1.
  4. A matriz M\in\mathbb{R}^{n\times n} é idempotente se, e somente se, I-M é idempotente.
  5. O determinante de uma matriz nilpotente é zero.
Informações/definições relevantes que o enunciado dá ou que vamos usar (sem resolver ainda):
  • Uma matriz M é idempotente se M^{2}=M.
  • Uma matriz N é nilpotente se existe k\in\mathbb{Z}_{>0} tal que N^{k}=0.
  • I denota a matriz identidade n\times n.
  • Fatos úteis que poderão aparecer: \det(AB)=\det(A)\det(B), em particular \det(A^{k})=(\det A)^{k}; se A é invertível então \det A\neq0; autovalores de M^{2}=M satisfazem \lambda^{2}=\lambda, etc.
A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Analisando a afirmação 1 e preparando a ideia do argumento. Relembrando a definição: M é nilpotente quando existe s\in\mathbb{Z}_{>0} tal que
M^{s}=0.
Chamaremos o menor s com essa propriedade de índice de nilpotência (pode denotar por s). A estratégia padrão para achar a inversa de I-M quando M é nilpotente é usar a soma geométrica finita:
S_r = I + M + M^{2} + \cdots + M^{r}.
Vamos ver o produto (I-M)S_r e escolher r adequado.

Passo 3

Cálculo elemento-chave para a afirmação 1. Multiplicando:
(I-M)S_r = (I-M)(I + M + M^{2} + \cdots + M^{r}).
Expandindo (distribuição):
(I-M)S_r = I + M + M^{2} + \cdots + M^{r} - \bigl(M + M^{2} + \cdots + M^{r} + M^{r+1}\bigr).
Cancelam-se todos os termos entre parênteses, sobrando
(I-M)S_r = I - M^{r+1}.
Agora, se M é nilpotente com índice s, isto é M^{s}=0, então escolha r tal que r+1\ge s (por exemplo r=s-1 ou r=s); então M^{r+1}=0 e obtemos
(I-M)S_r = I.
Analogamente S_r(I-M)=I. Portanto S_r é a inversa de I-M. Conclusão: existe r (por exemplo r=s) tal que
(I-M)^{-1}=I+M+\cdots+M^{r}.
Comentário prático: a fórmula funciona porque a soma termina num expoente onde a potência de M é nula. Logo a afirmação 1 é verdadeira.

Passo 4

Analisando a afirmação 2. A afirmação diz: a soma de matrizes nilpotentes é nilpotente. Vou mostrar que isso pode falhar com um contraexemplo pequeno e explícito (você vai ver por que é fácil errar achando que é verdade).
Considere as duas matrizes 2\times2
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Verifiquemos que ambas são nilpotentes:
  • A^{2}=\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix}^{2}=\begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix}=0.
  • B^{2}=\begin{pmatrix}0 & 0\\\ 1 & 0\end{pmatrix}^{2}=\begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix}=0.
    Logo A e B são nilpotentes.
Agora a soma:
A+B=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Calculemos (A+B)^{2}:
(A+B)^{2}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}^{2}= \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=I.
Como (A+B)^{2}=I\neq 0, a matriz A+B não é nilpotente. Portanto a soma de duas matrizes nilpotentes pode não ser nilpotente. Conclusão: a afirmação 2 é falsa.]

Passo 5

Analisando a afirmação 3. Vamos usar um argumento sobre autovalores (explicando o conceito) e depois dar contraexemplo simples.
Breve aula sobre autovalores que vou usar: se M é uma matriz n\times n e \lambda é um autovalor com autovetor não-nulo v, então Mv=\lambda v. Se M satisfaz M^{2}=M e aplicar isso a v, obtém-se
M^{2}v = M(Mv) = M(\lambda v) = \lambda M v = \lambda (\lambda v) = \lambda^{2} v.
Por outro lado M^{2}v = Mv = \lambda v. Comparando:
\lambda^{2} v = \lambda v \quad\Rightarrow\quad (\lambda^{2}-\lambda)v=0.
Como v\neq0, tem-se \lambda^{2}-\lambda=0, ou seja
\lambda(\lambda-1)=0.
Portanto cada autovalor \lambda de uma matriz idempotente satisfaz \lambda\in\{0,1\}. Como o determinante de uma matriz é o produto (contando multiplicidades) de seus autovalores, deduz-se que o determinante de uma matriz idempotente é produto de zeros e uns, isto é o determinante pode ser 0 ou 1 dependendo de quantas vezes aparece o autovalor 0.
Exemplo concreto que mostra que a afirmação "determinante sempre 1" é falsa: a matriz nula 0 satisfaz 0^{2}=0 (é idempotente). Mas \det(0)=0. Portanto nem toda matriz idempotente tem determinante 1. Conclusão: afirmação 3 é falsa.

Passo 6

Analisando a afirmação 4. Queremos mostrar a equivalência: M^{2}=M se, e somente se, (I-M)^{2}=I-M.
Prova direta (duas direções):
Direção \Rightarrow. Suponha M^{2}=M. Calcule
(I-M)^{2}=I-2M+M^{2}.
Usando M^{2}=M na expressão:
(I-M)^{2}=I-2M+M = I-M.
Portanto I-M é idempotente.
Direção \Leftarrow. Suponha (I-M)^{2}=I-M. Expandindo:
I - 2M + M^{2} = I - M.
Cancelando I e passando termos:
-2M + M^{2} = -M \quad\Rightarrow\quad M^{2}-2M + M = 0 \quad\Rightarrow\quad M^{2}-M=0.
Logo M^{2}=M. Portanto M é idempotente. Conclusão: a equivalência é verdadeira; afirmação 4 é verdadeira.
Comentário intuitivo: a operação M\mapsto I-M troca os autovalores 0\leftrightarrow1 quando M é idempotente, por isso preserva a propriedade.

Passo 7

Analisando a afirmação 5. Mostro duas maneiras simples de ver que se N é nilpotente então \det N=0.
Método 1 (determinante de potência): se N^{k}=0 então tomando determinante em ambos os lados:
\det(N^{k})=\det(0)=0.
Mas \det(N^{k})=(\det N)^{k}. Assim (\det N)^{k}=0, e portanto \det N=0. Isso prova que todo nilpotente tem determinante zero.
Método 2 (autovalores): se N^{k}=0 e \lambda é um autovalor de N, então \lambda^{k} é autovalor de N^{k} (aplicando em um autovetor), mas N^{k}=0 só tem autovalor 0, logo \lambda^{k}=0 e assim \lambda=0. Então todos os autovalores são zero, e o produto dos autovalores (o determinante) é zero.
Exemplo simples: para a matriz nilpotente A do Passo 4, temos \det A = 0. Conclusão: afirmação 5 é verdadeira.

Passo 8

Resumo final das classificações com justificativas curtas (já demonstradas nos passos anteriores):
  • Afirmação 1: verdadeira (usar série geométrica finita até o índice de nilpotência).
  • Afirmação 2: falsa (contraexemplo explícito com matrizes 2\times2).
  • Afirmação 3: falsa (autovalores só podem ser 0 ou 1; ex.: matriz zero é idempotente com determinante 0).
  • Afirmação 4: verdadeira (fácil veridades diretas: (I-M)^{2}=I-M \iff M^{2}=M).
  • Afirmação 5: verdadeira (porque \det(N^{k})=(\det N)^{k}=\det(0)=0, logo \det N=0).

Resposta

  1. Verdadeira
  2. Falsa
  3. Falsa
  4. Verdadeira
  5. Verdadeira

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