Conclusão: \det(A)=0, logo A é singular (não invertível) e \operatorname{rank}(A)<3.]
Passo 3
Para decidir a condição de existência de solução do sistema [A\vec{x}=\vec{b}) (afirmação 1) uso uma ideia padrão: o sistema é consistente se e somente se \vec{b} for ortogonal a todos os vetores da anuladora esquerda (espaço nulo de A^{T}). Em outras palavras, existe vetor não nulo \vec{y} tal que \vec{y}^{T}A=\vec{0}^{T}; então a condição necessária e suficiente de consistência é \vec{y}^{T}\vec{b}=0.
Logo encontro o núcleo de A^{T}, ou seja resolvo A^{T}\vec{y}=\vec{0}. Escrevendo A^{T}:
Da segunda equação: y_{1}=-y_{2}+2y_{3}\]. Substituindo na primeira:
\[2(-y_{2}+2y_{3})+y_{2}-3y_{3}=0 \implies -y_{2}+y_{3}=0 \implies y_{2}=y_{3}.\]
Logo \(y_{1}= -y_{2}+2y_{3} = -y_{3}+2y_{3}=y_{3}. Portanto y_{1}=y_{2}=y_{3}. O espaço nulo de A^{T} é gerado por (1,1,1)^{T}.
Portanto a condição de consistência é
(1,1,1)\cdot \vec{b}=b_{1}+b_{2}+b_{3}=0.
Como o espaço nulo de A^{T} tem dimensão 1 (vetor não nulo encontrado) e a condição (1,1,1)\cdot\vec{b}=0 é exatamente a ortogonalidade necessária e suficiente, concluímos que a afirmação (1) é verdadeira.]
Passo 4
Afirmação (2): "se A\vec{x}=\vec{b}, então \vec{x}=A^{-1}\vec{b}". Comentário conceitual: essa fórmula só é válida quando A é invertível. Como em Passo 2 mostramos que \det(A)=0, A^{-1} não existe. Logo a afirmação (2) é falsa.
Observação pedagógica: quando A fosse invertível, a implicação seria verdadeira e única; aqui não há A^{-1} então não faz sentido a igualdade em geral.
Passo 5
Afirmação (3): "existem duas linhas linearmente dependentes na matriz A". Primeiro entendo o sentido natural desta frase: “existem duas linhas linearmente dependentes” normalmente quer dizer que há duas linhas que são múltiplos escalares uma da outra (ou seja, duas linhas linearmente dependentes entre si). Vou testar se alguma linha é múltipla de outra.
Não existe k tal que r_{1}=k r_{2}: comparando primeiras componentes dá k=2, mas então a segunda componente seria -2\neq -1.
Não existe k tal que r_{1}=k r_{3}: comparar primeiras componentes dá k=-2/3, mas a segunda não coincide.
Não existe k tal que r_{2}=k r_{3}.
Portanto não há duas linhas que sejam múltiplos exatas uma da outra. Logo, no sentido usual da frase, (3) é falsa.
Observação importante: embora não haja duas linhas proporcionais, as três linhas são linearmente dependentes em conjunto (pois \operatorname{rank}(A)<3), ou seja existe relação linear não trivial envolvendo as três. Mas isso não implica que exista um par de linhas proporcionais; por isso (3) como enunciado é falso.
Passo 6
Afirmação (4): "o posto da matriz A é 2". Já sabemos \det(A)=0 (logo posto \le 2). Para mostrar que o posto é exatamente 2, basta exibir duas linhas (ou colunas) linearmente independentes. Por exemplo r_{1} e r_{2} não são múltiplos (Passo 5), logo são linearmente independentes em \mathbb{R}^{3}. Assim \operatorname{rank}(A)\ge 2. Combinando com \operatorname{rank}(A)\le 2 obtemos \operatorname{rank}(A)=2. Portanto (4) é verdadeira.
Complemento para fixar: pela fórmula de nulidade (\dim\ker(A)=n-\operatorname{rank}(A) com n=3), temos \dim\ker(A)=1, isto é, existe um espaço unidimensional de soluções não-triviais de A\vec{x}=\vec{0}.
Da segunda equação: x_{1}=x_{2}-x_{3}\]. Substituindo na primeira:
\[2(x_{2}-x_{3})-x_{2}-3x_{3}=0 \implies x_{2}-5x_{3}=0 \implies x_{2}=5x_{3}.\]
Então \(x_{1}=x_{2}-x_{3}=5x_{3}-x_{3}=4x_{3}. Logo as soluções são