Uma moeda é lançada 50 vezes, com o objetivo de se verificar sua honestidade. Se ocorrem 36 caras nos 50 lançamentos, o que podemos concluir? Admita que o o Teorema Central do Limite possa ser aplicado sem o processo de limite.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda):
- Dados fornecidos:
- Número de lançamentos:
. - Número de caras observadas:
.
- Número de lançamentos:
- Pergunta implícita: verificar a honestidade da moeda — isto é, testar se a probabilidade de dar cara
é igual a (moeda justa) ou se há evidência de que . - Quantidades que vamos usar (peguei-os do enunciado):
e .
Passo 2
Formular o teste de hipóteses (o que exatamente vou testar):
- Hipótese nula (o que assume honestidade):
- Hipótese alternativa (moeda não é honesta):
Isto é um teste bilateral: estamos interessados em detectar desvio em qualquer direção (mais caras ou menos caras).
Passo 3
Definir a estatística amostral e usar o Teorema Central do Limite (explicando o que isso significa):
- A proporção amostral de caras é
- Pelo Teorema Central do Limite aplicado a proporções (explicação curta e prática): para
suficientemente grande a distribuição de é aproximadamente normal com média e variância . Aqui vamos usar essa aproximação com igual ao valor assumido em . - Sob
temos:
- O desvio padrão (erro padrão) sob
é
Comentário intuitivo: isso significa que, se a moeda fosse honesta, as proporções observadas em amostras de 50 lançamentos tipicamente variariam ao redor de
com desvio típico
.
Passo 4
Construir a estatística de teste (z) e calcular seu valor:
- A estatística padrão (z) é a diferença entre a proporção observada e a esperada, normalizada pelo erro padrão:
- Calcular passo a passo:
- Diferença:
. - Dividindo:
.
- Diferença:
- Interpretação do
: sob esse valor deveria ser tipicamente perto de . Um valor de está bem afastado da média da normal padrão.
Passo 5
Calcular o p-valor e tomar decisão (explicando o que é p-valor):
- Para um teste bilateral, o p-valor é
onde
é a função de distribuição da Normal padrão (ou seja,
é a cauda à direita do valor absoluto de
).
- Com
a cauda à direita vale aproximadamente (tabela da normal ou cálculo). Assim
- Interpretação numérica:
é muito pequeno — bem menor que níveis usuais como ou . - Conclusão do teste: rejeitamos
ao nível e também ao nível . Isso significa que há evidência estatística forte contra a hipótese da moeda ser justa.
Passo 6
Complemento útil: intervalo de confiança para
(ajuda a interpretar magnitude do viés)
- Um intervalo de confiança de
para usando aproximação normal é
com
.
- Calculando:
- Margem de erro:
. - Intervalo:
.
- Margem de erro:
- Interpretação: esse intervalo não contém
, o que reforça a conclusão de que é significativamente maior que . Em linguagem simples: a proporção verdadeira de caras parece estar entre cerca de e , com de confiança, segundo a aproximação usada.
Passo 7
Uma comparação intuitiva curta (exemplo para entender sensibilidade):
- Se tivéssemos observado só
caras: , diferença , => p-valor grande (≈0,40) => não rejeitaríamos . Isso mostra que caras é um desvio muito maior do que variações amostrais normais para .
Passo 8
Resposta interpretativa final e incentivo
- Conclusão prática: os dados fornecem evidência forte de que a moeda não é honesta: a probabilidade de cara parece ser maior do que
. Isso é suportado pelo valor de teste , pelo p-valor muito pequeno e porque o intervalo de para não contém . - Dica para prova: procedimento rápido — calcule
, calcule , forme e compare com a normal padrão; ou calcule p-valor. Se p-valor < , rejeita-se . Respire fundo — você consegue aplicar isso de forma direta na prova!
Resposta
Rejeita-se
: há evidência significativa de que a moeda é viciada a favor de caras. Estatística de teste
. p-valor
. Intervalo de
para
:
.