Uma moeda é lançada 50 vezes, com o objetivo de se verificar sua honestidade. Se ocorrem 36 caras nos 50 lançamentos, o que podemos concluir? Admita que o o Teorema Central do Limite possa ser aplicado sem o processo de limite.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda):
  • Dados fornecidos:
    • Número de lançamentos: n=50.
    • Número de caras observadas: X=36.
  • Pergunta implícita: verificar a honestidade da moeda — isto é, testar se a probabilidade de dar cara p é igual a 0,5 (moeda justa) ou se há evidência de que p\neq0,5.
  • Quantidades que vamos usar (peguei-os do enunciado): n=50 e X=36.

Passo 2

Formular o teste de hipóteses (o que exatamente vou testar):
  • Hipótese nula (o que assume honestidade):
H_0:\; p=0,5
  • Hipótese alternativa (moeda não é honesta):
H_1:\; p\neq0,5
Isto é um teste bilateral: estamos interessados em detectar desvio em qualquer direção (mais caras ou menos caras).

Passo 3

Definir a estatística amostral e usar o Teorema Central do Limite (explicando o que isso significa):
  • A proporção amostral de caras é
\hat{p}=\frac{X}{n}=\frac{36}{50}=0,72.
  • Pelo Teorema Central do Limite aplicado a proporções (explicação curta e prática): para n suficientemente grande a distribuição de \hat{p} é aproximadamente normal com média p e variância p(1-p)/n. Aqui vamos usar essa aproximação com p igual ao valor assumido em H_0.
  • Sob H_0 temos:
\text{E}(\hat{p})=p_0=0,5,\qquad \operatorname{Var}(\hat{p})=\frac{p_0(1-p_0)}{n}=\frac{0,5\cdot(1-0,5)}{50}=\frac{0,25}{50}=\frac{1}{200}.
  • O desvio padrão (erro padrão) sob H_0 é
\text{se} = \sqrt{\frac{1}{200}}=\frac{1}{\sqrt{200}}\approx0,07071.
Comentário intuitivo: isso significa que, se a moeda fosse honesta, as proporções observadas em amostras de 50 lançamentos tipicamente variariam ao redor de 0,5 com desvio típico \approx0,071.

Passo 4

Construir a estatística de teste (z) e calcular seu valor:
  • A estatística padrão (z) é a diferença entre a proporção observada e a esperada, normalizada pelo erro padrão:
z=\frac{\hat{p}-p_0}{\text{se}}=\frac{0,72-0,5}{0,07071}.
  • Calcular passo a passo:
    • Diferença: \hat{p}-p_0=0,72-0,5=0,22.
    • Dividindo: z=\dfrac{0,22}{0,07071}\approx3,11.
  • Interpretação do z: sob H_0 esse valor deveria ser tipicamente perto de 0. Um valor de z\approx3,11 está bem afastado da média 0 da normal padrão.

Passo 5

Calcular o p-valor e tomar decisão (explicando o que é p-valor):
  • Para um teste bilateral, o p-valor é
\text{p-valor}=2\cdot\big(1-\Phi(|z|)\big),
onde \Phi é a função de distribuição da Normal padrão (ou seja, 1-\Phi(|z|) é a cauda à direita do valor absoluto de z).
  • Com |z|\approx3,11 a cauda à direita vale aproximadamente 0,00093 (tabela da normal ou cálculo). Assim
\text{p-valor}\approx2\cdot0,00093\approx0,00186.
  • Interpretação numérica: \text{p-valor}\approx0,0019 é muito pequeno — bem menor que níveis usuais como \alpha=0,05 ou \alpha=0,01.
  • Conclusão do teste: rejeitamos H_0 ao nível \alpha=0,05 e também ao nível \alpha=0,01. Isso significa que há evidência estatística forte contra a hipótese da moeda ser justa.

Passo 6

Complemento útil: intervalo de confiança para p (ajuda a interpretar magnitude do viés)
  • Um intervalo de confiança de 95\% para p usando aproximação normal é
\hat{p}\pm z_{0,975}\cdot\text{se},
com z_{0,975}\approx1,96.
  • Calculando:
    • Margem de erro: 1,96\cdot0,07071\approx0,1386.
    • Intervalo: 0,72\pm0,1386\Rightarrow (0,72-0,1386,\;0,72+0,1386)\approx(0,5814,\;0,8586).
  • Interpretação: esse intervalo não contém 0,5, o que reforça a conclusão de que p é significativamente maior que 0,5. Em linguagem simples: a proporção verdadeira de caras parece estar entre cerca de 58\% e 86\%, com 95\% de confiança, segundo a aproximação usada.

Passo 7

Uma comparação intuitiva curta (exemplo para entender sensibilidade):
  • Se tivéssemos observado só 28 caras: \hat{p}=0,56, diferença 0,06, z\approx0,06/0,07071\approx0,85 => p-valor grande (≈0,40) => não rejeitaríamos H_0. Isso mostra que 36 caras é um desvio muito maior do que variações amostrais normais para n=50.

Passo 8

Resposta interpretativa final e incentivo
  • Conclusão prática: os dados fornecem evidência forte de que a moeda não é honesta: a probabilidade de cara parece ser maior do que 0,5. Isso é suportado pelo valor de teste z\approx3,11, pelo p-valor muito pequeno \approx0,0019 e porque o intervalo de 95\% para p não contém 0,5.
  • Dica para prova: procedimento rápido — calcule \hat{p}, calcule \text{se}=\sqrt{p_0(1-p_0)/n}, forme z e compare com a normal padrão; ou calcule p-valor. Se p-valor < \alpha, rejeita-se H_0. Respire fundo — você consegue aplicar isso de forma direta na prova!

Resposta

Rejeita-se H_0: há evidência significativa de que a moeda é viciada a favor de caras. Estatística de teste z\approx3,11. p-valor \approx0,0019. Intervalo de 95\% para p: (0,581,\;0,859).

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