Seja X um conjunto qualquer e a definição usual de par ordenado em X :
(a, b)=\{\{a\},\{a, b\}\} .
Considere agora a seguinte definição para tripla ordenada em X :
(\star \star) \quad<a, b, c>:=((a, b), c) .
Mostre que com essa nova definição ( \star \star ), temos
<a, b, c>=<x, y, z>\quad \Longleftrightarrow \quad a=x, b=y, c=z .
Portanto, (\star \star) é uma boa definição para tripla ordenada.

Passo 1

O enunciado usa a definição de par ordenado de Kuratowski em X:
(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\},
e propõe a definição de tripla ordenada
(\star\star)\quad <a,b,c> := \bigl((a,b),c\bigr).
Queremos mostrar que, com essa definição,
<a,b,c>=<x,y,z>\quad\Longleftrightarrow\quad a=x,\;b=y,\;c=z.

Passo 2

Lembramos a propriedade fundamental do par ordenado de Kuratowski: para quaisquer u,v,u',v'\in X vale
(u,v) = (u',v') \quad\Longleftrightarrow\quad u = u' \quad\text{e}\quad v = v'.

Passo 3

Suponha que
<a,b,c> = <x,y,z>.
Pela definição (\star\star), isso é
\bigl((a,b),c\bigr) = \bigl((x,y),z\bigr).
Aplicando a propriedade do par ordenado temos
(a,b) = (x,y) \quad\text{e}\quad c = z.

Passo 4

Agora, da igualdade (a,b)=(x,y) e usando de novo a mesma propriedade, segue
a = x \quad\text{e}\quad b = y.
Portanto, da hipótese inicial obtivemos
a=x,\quad b=y,\quad c=z.

Passo 5

Reciprocamente, se a=x, b=y e c=z, então
(a,b)=(x,y) \quad\text{e}\quad c=z,
logo
\bigl((a,b),c\bigr)=\bigl((x,y),z\bigr),
isto é,
<a,b,c>=<x,y,z>.

Resposta

<a,b,c>=<x,y,z>\quad\Longleftrightarrow\quad a=x,\;b=y,\;c=z.

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