Sejam os conjuntos
A=\{1,2,3,4,5,6\}, \quad B=\{a, b, c, d, e, f\}
Explique se são relações em A \times B :
a) R=\{(1, d),(3, e),(1, f)\}
b) R=\{(4, a),(1, d),(a, 6),(2, b)\}
c) R=\{(6, b),(1, d),(3, e),(4, a),(2,5)\}
d) R=\{(1, b),(2, d),(3, e),(4, f),(5, a),(6, d)\}
Para os casos em R é relação, encontre a relação inversa R^{-1}.

Passo 1

Temos os conjuntos
A = \{1,2,3,4,5,6\}, \quad B = \{a,b,c,d,e,f\}
e queremos verificar, para cada R, se R\subseteq A\times B. Isto significa que todo par (x,y)\in R deve ter x\in A e y\in B. Se isso ocorrer, dizemos que R é uma relação em A\times B; caso contrário, não é. Para cada caso em que for relação, vamos então calcular a relação inversa
R^{-1}=\{(y,x)\mid(x,y)\in R\}.

Passo 2

Caso (a):
R=\{(1,d),(3,e),(1,f)\}.
Verificamos cada par: 1,3\in A e d,e,f\in B. Logo R\subseteq A\times B e portanto é relação.
A inversa troca coordenadas em cada par, ou seja,
R^{-1}=\{(d,1),(e,3),(f,1)\}.

Passo 3

Caso (b):
R=\{(4,a),(1,d),(a,6),(2,b)\}.
O par (a,6) tem a\notin A (pois a\in B), então (a,6)\notin A\times B. Logo R\not\subseteq A\times B e não é relação em A\times B. Não se define R^{-1} neste caso.

Passo 4

Caso (c):
R=\{(6,b),(1,d),(3,e),(4,a),(2,5)\}.
O par (2,5) tem 5\notin B (pois 5\in A), então (2,5)\notin A\times B. Logo R\not\subseteq A\times B e não é relação em A\times B. Não se define R^{-1}.

Passo 5

Caso (d):
R=\{(1,b),(2,d),(3,e),(4,f),(5,a),(6,d)\}.
Todos os primeiros elementos 1,2,3,4,5,6 pertencem a A e todos os segundos b,d,e,f,a,d pertencem a B. Logo R\subseteq A\times B e é relação.
Invertendo cada par, obtemos
R^{-1}=\{(b,1),(d,2),(e,3),(f,4),(a,5),(d,6)\}.

Resposta

(a) R é relação em A\times B.
R^{-1}=\{(d,1),(e,3),(f,1)\}.
(b) R não é relação em A\times B.
(c) R não é relação em A\times B.
(d) R é relação em A\times B.
R^{-1}=\{(b,1),(d,2),(e,3),(f,4),(a,5),(d,6)\}.

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