Seja x_{1} \geq 2 e x_{n+1}=1+\sqrt{x_{n}-1}, para n \in \mathbb{N}. Mostre que \left(x_{n}\right) é decrescente e limitada inferiormente por 2. Encontre o limite.

Passo 1

O enunciado define a sequência real (x_{n}) por
x_{1}\ge2, \quad x_{n+1}=1+\sqrt{x_{n}-1}, \quad n\in\mathbb{N}.
O objetivo é mostrar que (x_{n}) é decrescente e limitada inferiormente por 2, e então determinar
\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_{n}. Para isso vamos usar indução para monotonicidade e limite inferior, e depois o teorema de convergência de sequência monótona limitada.

Passo 2

(Prova de que x_{n}\ge2 para todo n).
Base n=1: por hipótese x_{1}\ge2.
Passo indutivo: suponha x_{n}\ge2. Então
x_{n+1} =1+\sqrt{x_{n}-1} \ge1+\sqrt{2-1} =1+1 =2.
Logo, por indução, \displaystyle x_{n}\ge2 para todo n.

Passo 3

(Prova de que x_{n+1}\le x_{n} para todo n).
Queremos mostrar
x_{n+1}\le x_{n} \;\Longleftrightarrow\; 1+\sqrt{x_{n}-1}\le x_{n}.
Como já vimos x_{n}\ge2, temos x_{n}-1\ge1\ge0, então podemos subtrair 1 e elevar ao quadrado sem inverter a desigualdade:
\sqrt{x_{n}-1}\le x_{n}-1 \;\Longleftrightarrow\; x_{n}-1 \le (x_{n}-1)^{2}.
Escrevendo (x_{n}-1)^{2} - (x_{n}-1)\ge0 fica
(x_{n}-1)\bigl((x_{n}-1)-1\bigr)\ge0 \;\Longleftrightarrow\; (x_{n}-1)(x_{n}-2)\ge0.
Como x_{n}-1\ge1 e x_{n}-2\ge0, o produto é não negativo. Logo
\sqrt{x_{n}-1}\le x_{n}-1
e assim x_{n+1}\le x_{n}. Portanto (x_{n}) é decrescente.

Passo 4

(Convergência e cálculo do limite).
Por ser decrescente e limitada inferiormente por 2, a sequência (x_{n}) converge a algum L\ge2. Tomando limites na recorrência
\lim_{n\to\infty}x_{n+1} = 1+\lim_{n\to\infty}\sqrt{x_{n}-1} \;\Longrightarrow\; L =1+\sqrt{L-1}.
Defina t=L-1\ge1. A equação fica
t = \sqrt{t} \;\Longleftrightarrow\; t^{2}=t \;\Longleftrightarrow\; t(t-1)=0 \;\Longrightarrow\; t\in\{0,1\}.
Como t\ge1, só cabe t=1. Logo L-1=1 e L=2.

Resposta

A sequência (x_{n}) é decrescente, fica sempre acima de 2 e converge para
\lim_{n\to\infty}x_{n} = 2.

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