Seja
e
, para
. Mostre que
é decrescente e limitada inferiormente por 2. Encontre o limite.
Passo 1
O enunciado define a sequência real
por
O objetivo é mostrar que
é decrescente e limitada inferiormente por
, e então determinar
. Para isso vamos usar indução para monotonicidade e limite inferior, e depois o teorema de convergência de sequência monótona limitada.
Passo 2
(Prova de que
para todo
).
Base : por hipótese
.
Passo indutivo: suponha . Então
Base
Passo indutivo: suponha
Logo, por indução,
para todo
.
Passo 3
(Prova de que
para todo
).
Queremos mostrar
Queremos mostrar
Como já vimos
, temos
, então podemos subtrair 1 e elevar ao quadrado sem inverter a desigualdade:
Escrevendo
fica
Como
e
, o produto é não negativo. Logo
e assim . Portanto
é decrescente.
e assim
Passo 4
(Convergência e cálculo do limite).
Por ser decrescente e limitada inferiormente por , a sequência
converge a algum
. Tomando limites na recorrência
Por ser decrescente e limitada inferiormente por
Defina
. A equação fica
Como
, só cabe
. Logo
e
.
Resposta
A sequência
é decrescente, fica sempre acima de
e converge para