Seja x_{1}=8 e x_{n+1}=\frac{1}{2} x_{n}+2 para n \in \mathbb{N}. Mostre que \left(x_{n}\right) é limitada e monótona. Encontre o limite.

Passo 1

O enunciado define a sequência \bigl(x_n\bigr) por
x_1 = 8, \quad x_{n+1} = \tfrac12\,x_n + 2.
O objetivo é mostrar que \bigl(x_n\bigr) é limitada e monótona, e então encontrar \displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n. Vamos usar indução para a limitação, o teste da diferença para a monotonicidade e o ponto fixo da recorrência para o limite.

Passo 2

Provar que x_n>4 para todo n\in\mathbb{N} (limitação inferior):
Base ( n=1): x_1=8>4.
Passo indutivo: suponha x_n>4. Então
x_{n+1} = \tfrac12\,x_n + 2 > \tfrac12\cdot 4 + 2 = 4.
Logo, por indução, x_n>4 para todo n.

Passo 3

Mostrar que \bigl(x_n\bigr) é decrescente:
Calcule a diferença
x_{n+1}-x_n = \bigl(\tfrac12\,x_n + 2\bigr) - x_n = -\tfrac12\,x_n + 2.
Como já vimos x_n>4, segue
-\tfrac12\,x_n + 2 < -\tfrac12\cdot4 + 2 = 0,
ou seja, x_{n+1}<x_n. Portanto a sequência é monótona decrescente.

Passo 4

Como \bigl(x_n\bigr) é decrescente e x_n>4 para todo n, ela está limitada (inferiormente por 4 e superiormente por x_1=8). Para achar o limite L, observe que, passando ao limite na relação de recorrência, temos
L = \tfrac12\,L + 2.
Resolvendo dá
\tfrac12\,L = 2 \quad\Longrightarrow\quad L = 4.

Resposta

A sequência \bigl(x_n\bigr) é monótona decrescente e limitada, e
\lim_{n\to\infty}x_n = 4.

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