Seja
e
para
. Mostre que
é limitada e monótona. Encontre o limite.
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
O objetivo é mostrar que
é limitada e monótona, e então encontrar
. Vamos usar indução para a limitação, o teste da diferença para a monotonicidade e o ponto fixo da recorrência para o limite.
Passo 2
Provar que
para todo
(limitação inferior):
Base ( ):
.
Passo indutivo: suponha . Então
Base (
Passo indutivo: suponha
Logo, por indução,
para todo
.
Passo 3
Mostrar que
é decrescente:
Calcule a diferença
Calcule a diferença
Como já vimos
, segue
ou seja,
. Portanto a sequência é monótona decrescente.
Passo 4
Como
é decrescente e
para todo
, ela está limitada (inferiormente por 4 e superiormente por
). Para achar o limite
, observe que, passando ao limite na relação de recorrência, temos
Resolvendo dá
Resposta
A sequência
é monótona decrescente e limitada, e