Seja x_{n}=1 / \ln (n+1) para n \in \mathbb{N}. Use a definição de limite para provar que \lim \left(x_{n}\right)=0. Encontre um valor específico de n_{0}(\varepsilon) como requerido na definição de limite quando \varepsilon=1 / 2 e \varepsilon=1 / 10.
Passo 1
O enunciado define a sequência
x_{n} = \frac{1}{\ln(n+1)},
para n\in\mathbb{N}, e pede para provar que \lim_{n\to\infty}x_{n}=0 usando a definição de limite de sequência. Ou seja, dado \varepsilon>0, precisamos encontrar um n_{0}(\varepsilon) tal que, para todo n\ge n_{0}(\varepsilon), valha
\bigl|x_{n}-0\bigr| < \varepsilon.
Passo 2
Começamos escrevendo a condição \lvert x_{n}-0\rvert<\varepsilon em termos de n: