Seja x_{n}=1 / \ln (n+1) para n \in \mathbb{N}. Use a definição de limite para provar que \lim \left(x_{n}\right)=0. Encontre um valor específico de n_{0}(\varepsilon) como requerido na definição de limite quando \varepsilon=1 / 2 e \varepsilon=1 / 10.

Passo 1

O enunciado define a sequência
x_{n} = \frac{1}{\ln(n+1)},
para n\in\mathbb{N}, e pede para provar que \lim_{n\to\infty}x_{n}=0 usando a definição de limite de sequência. Ou seja, dado \varepsilon>0, precisamos encontrar um n_{0}(\varepsilon) tal que, para todo n\ge n_{0}(\varepsilon), valha
\bigl|x_{n}-0\bigr| < \varepsilon.

Passo 2

Começamos escrevendo a condição \lvert x_{n}-0\rvert<\varepsilon em termos de n:
\biggl|\frac{1}{\ln(n+1)}\biggr| < \varepsilon.
Como \ln(n+1)>0 para n\ge1, isso equivale a
\frac{1}{\ln(n+1)} < \varepsilon \quad\Longleftrightarrow\quad \ln(n+1) > \frac{1}{\varepsilon}.

Passo 3

Da desigualdade \ln(n+1)>1/\varepsilon segue
n+1 > e^{1/\varepsilon} \quad\Longleftrightarrow\quad n > e^{1/\varepsilon}-1.
Para garantir que n seja um inteiro que satisfaz essa desigualdade, basta escolher
n_{0}(\varepsilon) \;=\; \bigl\lceil e^{1/\varepsilon}-1\bigr\rceil.
De fato, se n\ge n_{0}(\varepsilon) então
n \;\ge\; e^{1/\varepsilon}-1 \quad\Longrightarrow\quad n+1 \ge e^{1/\varepsilon} \quad\Longrightarrow\quad \ln(n+1)\ge \tfrac1\varepsilon \quad\Longrightarrow\quad \frac1{\ln(n+1)}\le \varepsilon,
ou seja, \lvert x_{n}-0\rvert<\varepsilon. Isso prova que \lim_{n\to\infty}x_{n}=0.

Passo 4

Agora, para \varepsilon=\tfrac12 temos 1/\varepsilon=2, logo
e^{1/\varepsilon}-1 = e^{2}-1 \approx 7{,}389 - 1 = 6{,}389.
Portanto
n_{0}\bigl(\tfrac12\bigr) = \bigl\lceil e^{2}-1\bigr\rceil = \lceil 6{,}389\rceil =7.

Passo 5

Para \varepsilon=\tfrac{1}{10} temos 1/\varepsilon=10, então
e^{1/\varepsilon}-1 = e^{10}-1 \approx 22026{,}4658 - 1 = 22025{,}4658.
Logo
n_{0}\bigl(\tfrac{1}{10}\bigr) = \bigl\lceil e^{10}-1\bigr\rceil = \lceil 22025{,}4658\rceil =22026.

Resposta

Para \varepsilon=\tfrac12 pode-se tomar n_{0}=7.
Para \varepsilon=\tfrac{1}{10} pode-se tomar n_{0}=22026.

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