Sejam X_{1}, \ldots, X_{n} uma amostra aleatória extraída de uma população X. Encontre estimador(es) usado o método dos momentos quando X tem distribuição: \operatorname{Exp}(\theta).
Passo 1
O enunciado diz que X_{1},\ldots,X_{n} é uma amostra aleatória de uma população X e pede estimador(es) pelo método dos momentos quando X tem distribuição \operatorname{Exp}(\theta). Informações relevantes que temos:\n
Temos n observações i.i.d.: X_{1},\ldots,X_{n}.\n
A distribuição é exponencial com parâmetro \theta>0, mas o enunciado não especifica se \theta é o parâmetro de taxa (frequentemente chamado de \lambda) ou o parâmetro de escala (média). Essas duas parametrizações comuns são:\n
forma taxa: f(x)=\theta e^{-\theta x}, x>0 (aqui E[X]=1/\theta);\n
forma escala: f(x)=\dfrac{1}{\theta}e^{-x/\theta}, x>0 (aqui E[X]=\theta).\n
Como o enunciado não indica qual, vou apresentar ambos os casos (cada um tem seu estimador pelo método dos momentos). Não vou resolver nada ainda — só listei os dados e a ambiguidade, como pedido.
Passo 2
O que é o método dos momentos e como aplicamos (explicação didática):\n
Definição: o método dos momentos constrói estimadores igualando momentos amostrais aos momentos populacionais. O momento populacional de ordem 1 (a média verdadeira) é \mu_1=E[X]. O momento amostral de ordem 1 é a média amostral \overline{X}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i.\n
Raciocínio: pela Lei dos Grandes Números, \overline{X} converge para E[X] quando n cresce. Então faz sentido estimar o parâmetro \theta impondo que o momento teórico (função de \theta) seja igual ao momento amostral. Para uma família com um parâmetro basta igualar o primeiro momento teórico a \overline{X} e resolver para \theta.\n
Em poucas etapas práticas: (i) calcule E[X] em função de \theta; (ii) ponha E[X]=\overline{X}; (iii) resolva essa equação para obter \widehat{\theta}_{MM}.
Passo 3
Caso 1 — parametrização por taxa: f(x)=\theta e^{-\theta x}, x>0 (aqui \theta é a taxa).\n
Primeiro calculemos a média teórica E[X].\n
Cálculo: E[X]=\displaystyle\int_{0}^{\infty} x\,\theta e^{-\theta x}\,dx.\n
Podemos usar integração por partes: tome u=x, dv=\theta e^{-\theta x}dx. Então du=dx e v=-e^{-\theta x}. Assim\nE[X]=\Bigl[-x e^{-\theta x}\Bigr]_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty} e^{-\theta x}\,dx.\nO termo \lim_{x\to\infty} x e^{-\theta x}=0 e no 0 dá 0, então sobra\nE[X]=\int_{0}^{\infty} e^{-\theta x}\,dx=\frac{1}{\theta}.\n
Pelo método dos momentos igualamos E[X] à média amostral \overline{X}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i:\n\overline{X}=\frac{1}{\theta}.\n
Resolvendo para \theta obtemos o estimador pelo método dos momentos:\n\widehat{\theta}_{MM}=\frac{1}{\overline{X}}.\n
Interpretação rápida: se \theta é taxa, sua estimativa é o inverso da média amostral — faz sentido porque taxa alta corresponde a média pequena.
Passo 4
Caso 2 — parametrização por escala (média): f(x)=\dfrac{1}{\theta}e^{-x/\theta}, x>0 (aqui \theta é a escala, igual à média).\n
Calculemos a média teórica E[X].\n
Cálculo: E[X]=\displaystyle\int_{0}^{\infty} x\cdot\frac{1}{\theta}e^{-x/\theta}\,dx.\n
Fazendo a substituição t=x/\theta (ou usando que é uma Gamma de forma 1), obtemos diretamente\nE[X]=\theta.\n
Pelo método dos momentos igualamos E[X] à média amostral:\n\overline{X}=\theta.\n
Resolvendo para \theta obtemos o estimador pelo método dos momentos:\n\widehat{\theta}_{MM}=\overline{X}.\n
Interpretação rápida: se \theta é a média verdadeira, o estimador natural pelo método dos momentos é justamente a média amostral — bem intuitivo.
Passo 5
Observações finais e comparação dos dois casos (ajuda para a prova):\n
Em resumo, a etapa chave do método dos momentos é saber a expressão de E[X] em função de \theta e igualá-la a \overline{X}.\n
Os dois resultados são simples e fáceis de memorizar: para a parametrização por taxa o estimador é o inverso da média amostral; para a parametrização por escala/média o estimador é a própria média amostral.\n
Propriedades rápidas: ambos os estimadores são consistentes (convergem para o verdadeiro \theta quando n\to\infty). Quanto a viés e variância finita, cuidado: \widehat{\theta}_{MM}=1/\overline{X} é uma função não linear da média e pode ser viesada em amostras pequenas; \widehat{\theta}_{MM}=\overline{X} tem propriedades mais simples (por exemplo, é não-viesado quando \theta é média verdadeira).
Resposta
Se f(x)=\theta e^{-\theta x} (parâmetro \theta é taxa): \widehat{\theta}_{MM}=\dfrac{1}{\overline{X}}.\n
Se f(x)=\dfrac{1}{\theta}e^{-x/\theta} (parâmetro \theta é escala/média): \widehat{\theta}_{MM}=\overline{X}.