Determine a série de Fourier de
no intervalo
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede: determinar a série de Fourier da função
no intervalo . - Informações dadas: a função
definida em . Assume-se a expansão em série de Fourier com período (extensão periódica de com período ).
Passo 2
Definição e fórmulas que vamos usar (o que é uma série de Fourier em
):
- Uma função
com período pode ser representada pela série
- Os coeficientes são dados por
Explicação curta e didática: essas fórmulas vêm da propriedade de ortogonalidade das funções
e
no intervalo
. Na prática, projetamos
sobre cada modo
e
para obter os coeficientes.
Passo 3
Observação sobre paridade (ferramenta que simplifica muito):
- A função
é ímpar, isto é, . - A função
é par e é ímpar. - Produto de função ímpar com função par é ímpar; integral de função ímpar em intervalo simétrico
é zero. - Produto de função ímpar com função ímpar é par; integral pode ser não nula.
Usando isso já vemos:
porque os integrandos são ímpares. Portanto só restam os termos com seno.
Passo 4
Cálculo de
. Começamos pela definição e usamos paridade para reduzir a integral:
pois
é uma função par (produto de ímpar por ímpar).
Passo 5
Avaliar a integral por partes. Defina
Queremos
. Fazer integração por partes com
e
:
-
então . -
então .
Aplicando a fórmula
:
Avaliar termos separadamente:
- O termo de fronteira:
- A segunda integral:
Logo
Passo 6
Substituir
e avaliar as funções trigonométricas em
:
-
. -
.
Assim
Retornando a
:
Agora substituir
para obter
em forma final:
Passo 7
Escrever a série de Fourier completa usando que
,
e os
calculados:
Comentário (didático e útil para prova): essa série representa a extensão periódica ímpar de
com período
. Nos pontos de descontinuidade da extensão periódica a série converge para a média dos limites laterais; em particular, nos pontos
a série converge para
(média entre
e
).