Determine a série de Fourier de f(x)=x no intervalo [-L, L].

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede: determinar a série de Fourier da função f(x)=x no intervalo [-L,L].
  • Informações dadas: a função f(x)=x definida em [-L,L]. Assume-se a expansão em série de Fourier com período 2L (extensão periódica de f com período 2L).

Passo 2

Definição e fórmulas que vamos usar (o que é uma série de Fourier em [-L,L]):
  • Uma função f com período 2L pode ser representada pela série
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)+b_n\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right].
  • Os coeficientes são dados por
a_0=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\,dx, \qquad a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx, \qquad b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.
Explicação curta e didática: essas fórmulas vêm da propriedade de ortogonalidade das funções \cos e \sin no intervalo [-L,L]. Na prática, projetamos f sobre cada modo \cos e \sin para obter os coeficientes.

Passo 3

Observação sobre paridade (ferramenta que simplifica muito):
  • A função f(x)=x é ímpar, isto é, f(-x)=-f(x).
  • A função \cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right) é par e \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right) é ímpar.
  • Produto de função ímpar com função par é ímpar; integral de função ímpar em intervalo simétrico [-L,L] é zero.
  • Produto de função ímpar com função ímpar é par; integral pode ser não nula.
Usando isso já vemos:
a_0=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} x\,dx = 0, \qquad a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} x\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx = 0
porque os integrandos são ímpares. Portanto só restam os termos com seno.

Passo 4

Cálculo de b_n. Começamos pela definição e usamos paridade para reduzir a integral:
b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} x\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx =\frac{2}{L}\int_{0}^{L} x\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx,
pois x\sin(\cdot) é uma função par (produto de ímpar por ímpar).

Passo 5

Avaliar a integral por partes. Defina
k=\frac{n\pi}{L}.
Queremos \int_{0}^{L} x\sin(kx)\,dx. Fazer integração por partes com u=x e dv=\sin(kx)\,dx:
  • u=x então du=dx.
  • dv=\sin(kx)\,dx então v=-\frac{1}{k}\cos(kx).
Aplicando a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du:
\int_{0}^{L} x\sin(kx)\,dx = \left[-\frac{x}{k}\cos(kx)\right]_{0}^{L} + \frac{1}{k}\int_{0}^{L}\cos(kx)\,dx.
Avaliar termos separadamente:
  • O termo de fronteira: -\dfrac{L}{k}\cos(kL) - \left(-\dfrac{0}{k}\cos(0)\right)= -\dfrac{L}{k}\cos(kL).
  • A segunda integral: \dfrac{1}{k}\int_{0}^{L}\cos(kx)\,dx = \dfrac{1}{k}\left[\dfrac{1}{k}\sin(kx)\right]_{0}^{L}=\dfrac{1}{k^2}\sin(kL)-0.
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\int_{0}^{L} x\sin(kx)\,dx = -\frac{L}{k}\cos(kL)+\frac{1}{k^2}\sin(kL).

Passo 6

Substituir k=\dfrac{n\pi}{L} e avaliar as funções trigonométricas em kL=n\pi:
  • \cos(kL)=\cos(n\pi)=(-1)^n.
  • \sin(kL)=\sin(n\pi)=0.
Assim
\int_{0}^{L} x\sin(kx)\,dx = -\frac{L}{k}(-1)^n + 0 = -\frac{L(-1)^n}{k}.
Retornando a b_n:
b_n=\frac{2}{L}\cdot\left(-\frac{L(-1)^n}{k}\right)= -\frac{2(-1)^n}{k}.
Agora substituir k=\dfrac{n\pi}{L} para obter b_n em forma final:
b_n = -2(-1)^n\cdot\frac{L}{n\pi} = \frac{2L(-1)^{n+1}}{n\pi}.

Passo 7

Escrever a série de Fourier completa usando que a_0=0, a_n=0 e os b_n calculados:
f(x)=x \sim \sum_{n=1}^\infty b_n \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right) = \sum_{n=1}^\infty \frac{2L(-1)^{n+1}}{n\pi}\,\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right).
Comentário (didático e útil para prova): essa série representa a extensão periódica ímpar de f com período 2L. Nos pontos de descontinuidade da extensão periódica a série converge para a média dos limites laterais; em particular, nos pontos x=\pm L a série converge para 0 (média entre L e -L).

Resposta

x=\sum_{n=1}^\infty \frac{2L(-1)^{n+1}}{n\pi}\,\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right).

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