Seja X=1-1 / n mid n in N. Mostre que sup X=1 e inf X=0.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
X=,1-tfrac1nmid ninN
e pede para mostrar que sup X=1 e inf X=0.
O conteúdo necessário é a definição de supremum (menor das cotas superiores) e de infimum (maior das cotas inferiores).

Passo 2

Para ver que 1 é uma cota superior de X, basta notar que, para todo ninN,
1-tfrac1n<=1,
pois tfrac1n>=0. Logo, nenhum elemento de X ultrapassa 1.

Passo 3

Agora mostramos que não existe cota superior menor que 1. Seja alpha<1. Então 1-alpha>0, e basta escolher n>tfrac11-alpha. Para esse n temos
1-tfrac1n>1-(1-alpha)=alpha,
ou seja, há elemento de X maior que alpha. Logo 1 é o menor majorante, isto é, sup X=1.

Passo 4

Para ver que 0 é uma cota inferior de X, observe que para todo ninN
1-tfrac1n>=0,
pois tfrac1n<=1. Assim, nenhum elemento de X fica abaixo de 0.

Passo 5

Mostramos que não existe cota inferior maior que 0. Como 1-tfrac11=0 pertence a X, qualquer número beta>0 não pode ser cota inferior (pois 0<beta). Logo 0 é o maior minorante, isto é, inf X=0.

Resposta

sup X=1 e inf X=0.

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