Seja
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e pede para mostrar que e
.
O conteúdo necessário é a definição de supremum (menor das cotas superiores) e de infimum (maior das cotas inferiores).
e pede para mostrar que
O conteúdo necessário é a definição de supremum (menor das cotas superiores) e de infimum (maior das cotas inferiores).
Passo 2
Para ver que
é uma cota superior de
, basta notar que, para todo
,
pois
. Logo, nenhum elemento de
ultrapassa
.
Passo 3
Agora mostramos que não existe cota superior menor que
. Seja
. Então
, e basta escolher
. Para esse
temos
ou seja, há elemento de
maior que
. Logo
é o menor majorante, isto é,
.
Passo 4
Para ver que
é uma cota inferior de
, observe que para todo
pois
. Assim, nenhum elemento de
fica abaixo de
.
Passo 5
Mostramos que não existe cota inferior maior que
. Como
pertence a
, qualquer número
não pode ser cota inferior (pois
). Logo
é o maior minorante, isto é,
.