Verificar a regra da cadeia
d hd t=partial fpartial x cdot d xd t+partial fpartial y cdot d yd t
para as funções:
c) f(x, y)=x e^2 x y^2
x=2 t
y=3 t-1.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a regra da cadeia
d hd t=partial fpartial x,d xd t+partial fpartial y,d yd t
para a função
f(x,y)=x,e^2xy^2,
com as substituições
x=2t, y=3t-1
Vamos precisar de (i) as derivadas parciais de f em relação a x e a y, e (ii) as derivadas de x e y em relação a t.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f.
Usamos produto e cadeia em
f(x,y)=x,e^2xy^2
(i) Derivada em relação a x:
partial fpartial x =underbrace1partial x/partial xe^2xy^2 + x,e^2xy^2cdotunderbrace(2y^2)partial(2xy^2)/partial x =e^2xy^2l(1+2xy^2r)
(ii) Derivada em relação a y:
partial fpartial y =x,e^2xy^2cdotunderbracel(4xyr)partial(2xy^2)/partial y =4x^2y,e^2xy^2

Passo 3

Calcular as derivadas de x e y em relação a t:
dxdt=d(2t)dt=2, dydt=d(3t-1)dt=3

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia:
dhdt =partial fpartial x,dxdt +partial fpartial y,dydt =e^2xy^2l(1+2xy^2r)cdot 2 +4x^2y,e^2xy^2cdot 3
Organizando,
dhdt =2,e^2xy^2l(1+2xy^2r) +12,x^2y,e^2xy^2
Substituindo agora x=2t e y=3t-1, obtemos explicitamente
dhdt =2,e^4t(3t-1)^2l(1+4t(3t-1)^2r) +48,t^2(3t-1),e^4t(3t-1)^2

Passo 5

(Verificação adicional) Derivando diretamente
h(t)=f(2t,3t-1)=2t,e^4t(3t-1)^2,
temos
h'(t) =2,e^4t(3t-1)^2 +2t,e^4t(3t-1)^2cdotddtl[4t(3t-1)^2r],
e, ao calcular ddt[4t(3t-1)^2], encontra-se exatamente a mesma expressão obtida pela regra da cadeia.

Resposta

dhdt =2,e^2xy^2l(1+2xy^2r) +12,x^2y,e^2xy^2 com x=2t,;y=3t-1

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