Determine o intervalo de convergência
sum ln n2^n(x-raiz2)^n

Passo 1

O enunciado apresenta a série de potências centrada em raiz2:
sumn=1^infty ln n2^n,(x-raiz2)^n
Queremos determinar o intervalo de convergência, ou seja, todos os x tais que a série converge. Para isso vamos usar o raio de convergência obtido pelo teste da raiz.

Passo 2

No teste da raiz, se definirmos an = ln n2^n, o raio de convergência R satisfaz
R = 1limsupntoinfty |an|^1/n
A teoria diz que a série converge se |x-raiz2|<R e diverge se |x-raiz2|>R.

Passo 3

Calculemos primeiro
|an|^1/n = l(ln n2^nr)^1/n = (ln n)^1/n2
Como limntoinfty(ln n)^1/n=1, segue que
limsupntoinfty|an|^1/n = 12 Longrightarrow R = 2
Portanto a série converge para
|x-raiz2|<2

Passo 4

Faltam agora os extremos x-raiz2=pm2, ou seja x=raiz2pm2. Nestes pontos o termo geral vira
ln n2^n,(pm2)^n ;=;(pm1)^n,ln n
Como ln nnotto0, o termo geral não tende a zero e a série diverge em ambos os extremos.

Resposta

l(raiz2-2,;raiz2+2r)

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