Seja ( x_{n} ) uma sequência limitada de \mathbb{R}. Mostre que:
Se c \geq 0 então
\liminf \left(c x_{n}\right)=c \liminf x_{n}
e
\limsup \left(c x_{n}\right)=c \limsup x_{n} .

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma sequência limitada (x_{n}) em \mathbb{R} e um número c\ge 0. Precisamos provar que
\liminf (c\,x_{n}) = c\,\liminf x_{n} \quad\text{e}\quad \limsup (c\,x_{n}) = c\,\limsup x_{n}.
Conteúdo envolvido: definição de \liminf e \limsup como limites de infimos e supremos de caudas da sequência, e propriedades de escalares não negativos em infimo e supremo.

Passo 2

Recordando as definições: para cada k\in\mathbb{N} definimos
a_{k} = \inf_{n\ge k} x_{n}, \qquad b_{k} = \sup_{n\ge k} x_{n}.
Então
\liminf x_{n} = \lim_{k\to\infty} a_{k}, \qquad \limsup x_{n} = \lim_{k\to\infty} b_{k}.

Passo 3

Observe que, como c\ge 0, para cada k vale
\inf_{n\ge k} (c\,x_{n}) = c \,\inf_{n\ge k} x_{n} = c\,a_{k},
pois escalar uma família de números por um não-negativo multiplica o valor do ínfimo pelo mesmo escalar. Portanto, se definirmos
a'_{k} = \inf_{n\ge k}(c\,x_{n}),
temos a'_{k} = c\,a_{k} para todo k.

Passo 4

Tomando limites enquanto k\to\infty, segue
\liminf (c\,x_{n}) = \lim_{k\to\infty} a'_{k} = \lim_{k\to\infty}(c\,a_{k}) = c\,\lim_{k\to\infty} a_{k} = c\,\liminf x_{n}.
Usamos aqui continuidade da multiplicação por c.

Passo 5

De modo análogo, para o supremo, para cada k temos
\sup_{n\ge k} (c\,x_{n}) = c\,\sup_{n\ge k} x_{n} = c\,b_{k}.
Chamando b'_{k} = \sup_{n\ge k}(c\,x_{n}), obtemos b'_{k} = c\,b_{k}. Logo, ao passar ao limite,
\limsup (c\,x_{n}) = \lim_{k\to\infty} b'_{k} = \lim_{k\to\infty}(c\,b_{k}) = c\,\lim_{k\to\infty} b_{k} = c\,\limsup x_{n}.

Resposta

\liminf (c\,x_{n}) = c\,\liminf x_{n}, \qquad \limsup (c\,x_{n}) = c\,\limsup x_{n}.

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