Seja (
) uma sequência limitada de
. Mostre que:
Se
então
e
Se
Passo 1
Resumo do enunciado: temos uma sequência limitada
em
e um número
. Precisamos provar que
Conteúdo envolvido: definição de
e
como limites de infimos e supremos de caudas da sequência, e propriedades de escalares não negativos em infimo e supremo.
Passo 2
Recordando as definições: para cada
definimos
Então
Passo 3
Observe que, como
, para cada
vale
pois escalar uma família de números por um não-negativo multiplica o valor do ínfimo pelo mesmo escalar. Portanto, se definirmos
temos
para todo
.
Passo 4
Tomando limites enquanto
, segue
Usamos aqui continuidade da multiplicação por
.
Passo 5
De modo análogo, para o supremo, para cada
temos
Chamando
, obtemos
. Logo, ao passar ao limite,