Seja x in R tal que (2024-x)^2+(2024-x)(x-2025)+(x-2025)^2(2024-x)^2-(2024-x)(x-2025)+(x-2025)^2=1337. Detrmine x.
(Resp: x in2021,2028)

Passo 1

O enunciado pede para achar o(s) valor(es) real(is) de x tal que a razão
(2024-x)^2+(2024-x)(x-2025)+(x-2025)^2(2024-x)^2-(2024-x)(x-2025)+(x-2025)^2=1337
O conteúdo envolve manipulação de expressões quadráticas e resolução de equação racional.

Passo 2

Para simplificar essa estrutura simétrica, definimos
a=2024-x, b=x-2025
Como x=2024-a, temos
b=(2024-a)-2025=-a-1
Isso reduz a expressão a uma só variável a.

Passo 3

Substituímos b=-a-1 nas expressões do numerador e denominador:
num=a^2+a b+b^2=a^2+a(-a-1)+(-a-1)^2=a^2+a+1,
den=a^2-a b+b^2=a^2-a(-a-1)+(-a-1)^2=3a^2+3a+1
Logo a equação fica
a^2+a+13a^2+3a+1=1337

Passo 4

Fazendo a multiplicação cruzada:
37(a^2+a+1)=13(3a^2+3a+1)
Expandindo e somando termos semelhantes obtemos
37a^2+37a+37=39a^2+39a+13
Rightarrow -2a^2-2a+24=0
Rightarrow a^2+a-12=0
Que fatoriza em
(a+4)(a-3)=0
Logo a=-4 ou a=3.

Passo 5

Voltamos a x usando a=2024-x:
  • Se a=-4, então 2024-x=-4 e x=2028.
  • Se a=3, então 2024-x=3 e x=2021.
    Portanto os valores procurados são 2021 e 2028.

Resposta

x \in {2021,2028}

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