Seja X=sen Theta, onde Theta sim U(-pi2, pi2). Determine E X e var X.

Passo 1

Beleza, o exercício diz que a gente tem uma v.a. Θ uniformemente distribuída em e define . O que ele pede é a esperança e a variância .
Conteúdo envolvido: distribuição uniforme, densidade de probabilidade, cálculo de esperança por integral e fórmula da variância. A gente vai precisar da definição de e .

Passo 2

Primeiro, como Θ é uniforme em fTheta(theta)=1pi, -tfracpi2, sua densidade é
E[X]=integral-pi2^pi2sintheta;fTheta(theta),dtheta e E[X^2]=integral-pi2^pi2sin^2theta;fTheta(theta),dtheta
Por definição,

Passo 3

Calcular E[X] =integral-pi2^pi2sintheta;1pi,dtheta =1pil[-costhetar]-pi2^pi2 =1pil[-cos(tfracpi2)+cos(-tfracpi2)r] =1pi(0+0) =0 :

Passo 4

Agora E[X^2] =integral-pi2^pi2sin^2theta;1pi,dtheta =1piintegral-pi2^pi21-cos2theta2,dtheta =12pil[theta-tfracsin2theta2r]-pi2^pi2 . A gente usa l[theta-tfracsin2theta2r]-pi2^pi2 =l(tfracpi2-0r)-l(-tfracpi2-0r) =pi :
E[X^2]=12pi,pi=12
Calculando:
Então

Passo 5

Por fim, a variância é
Var(X)=E[X^2] - l(E[X]r)^2 =12 - 0^2 =12

Resposta


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