Sejam X e Y v.a.s independentes tais que X sim Gama(alpha1, lambda) e Y sim Gama(alpha2, lambda). Considere Z=YX.
Determine para quais valores de alpha1 e alpha2 teremos E Z^2 finito e calcule var Z neste caso.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas variáveis aleatórias, $ X $ e $ Y $, que seguem distribuições Gama com parâmetros $ \alpha_1, \lambda $ e $ \alpha_2, \lambda $, respectivamente. Essas variáveis são independentes. Queremos analisar a variável $ Z = \frac{Y}{X} $. Nosso objetivo é descobrir para quais valores de $ \alpha_1 $ e $ \alpha_2 $ o valor esperado de $ Z^2 $ é finito e, nesses casos, calcular a variância de $ Z $. Para isso, vamos precisar usar propriedades das distribuições Gama e entender como manipular o valor esperado e a variância de quocientes de variáveis aleatórias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da distribuição Gama. Se $ X \sim Gama(\alpha, \lambda) $, então o valor esperado $ E[X] = \frac{\alpha}{\lambda} $ e a variância $ Var(X) = \frac{\alpha}{\lambda^2} $. Como $ X $ e $ Y $ são independentes e ambas seguem distribuições Gama com o mesmo parâmetro $ \lambda $, isso nos ajudará a simplificar os cálculos.

Passo 3

Agora, vamos focar em $ Z = \frac{Y}{X} $. Para encontrar $ E[Z^2] $, precisamos calcular $ E\left[\left(\frac{Y}{X}\right)^2\right] = E\left[\frac{Y2}{X2}\right] $. Como $ X $ e $ Y $ são independentes, podemos separar as expectativas: $ E\left[\frac{Y2}{X2}\right] = E[Y^2] \cdot E\left[\frac{1}{X^2}\right] $.

Passo 4

Vamos encontrar $ E[Y^2] $. Sabemos que para uma variável Gama, $ E[Y^2] = Var(Y) + (E[Y])^2 = \frac{\alpha_2}{\lambda^2} + \left(\frac{\alpha_2}{\lambda}\right)^2 = \frac{\alpha_2 (\alpha_2 + 1)}{\lambda^2} $.

Passo 5

Agora, precisamos calcular $ E\left[\frac{1}{X^2}\right] $. Para isso, usamos a propriedade dos momentos negativos da distribuição Gama. Se $ X \sim Gama(\alpha_1, \lambda) $, então $ E\left[X^{-k}\right] = \frac{\lambda^k}{\Gamma(\alpha_1)} \Gamma(\alpha_1 - k) $, desde que $ \alpha_1 > k $. No nosso caso, $ k = 2 $, então precisamos que $ \alpha_1 > 2 $ para que $ E\left[\frac{1}{X^2}\right] $ seja finito. Assim, $ E\left[\frac{1}{X^2}\right] = \frac{\lambda^2}{\Gamma(\alpha_1)} \Gamma(\alpha_1 - 2) $.

Passo 6

Simplificando $ E\left[\frac{1}{X^2}\right] $, sabemos que $ \Gamma(\alpha_1 - 2) = (\alpha_1 - 3)(\alpha_1 - 2) \Gamma(\alpha_1 - 2) $, mas para simplificar, podemos expressar usando a relação $ \Gamma(z+1) = z\Gamma(z) $. Portanto, $ E\left[\frac{1}{X^2}\right] = \frac{\lambda^2}{(\alpha_1 - 1)(\alpha_1 - 2)} $, desde que $ \alpha_1 > 2 $.

Passo 7

Agora, juntando tudo para $ E[Z^2] $:
E[Z^2]
Para que $ E[Z^2] $ seja finito, é necessário que $ \alpha_1 > 2 $.

Passo 8

Agora, vamos calcular a variância de $ Z $. Lembrando que $ Var(Z) = E[Z^2] - (E[Z])^2 $. Primeiro, precisamos encontrar $ E[Z] $.

Passo 9

Calculando $ E[Z] = E\left[\frac{Y}{X}\right] = E[Y] \cdot E\left[\frac{1}{X}\right] $. Sabemos que $ E[Y] = \frac{\alpha_2}{\lambda} $ e $ E\left[\frac{1}{X}\right] = \frac{\lambda}{\alpha_1 - 1} $, desde que $ \alpha_1 > 1 $. Então:
E[Z] = E[YX] = E[Y] cdot E[1X]

Passo 10

Agora, substituindo na fórmula da variância:
Var(Z) = alpha2 (alpha2 + 1)(alpha1 - 1)(alpha1 - 2) - (alpha2alpha1 - 1)^2
Simplificando:
Var(Z) = alpha2 (alpha2 + 1)(alpha1 - 1)(alpha1 - 2) - alpha2^2(alpha1 - 1)^2 = alpha2(alpha1 - 1)(alpha1 - 2)

Resposta

Para que $ E[Z^2] $ seja finito, é necessário que $ \alpha_1 > 2 $. Neste caso, a variância de $ Z $ é dada por:
E[Z^2]

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