Seja X sim N(0, sigma^2). Determine a esperança e a variância da seguinte v.a.:
|X|

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz: “Seja fX(x)=1sigmaraiz2piexp!l(-x^22sigma^2r) . Determine a esperança e a variância da variável aleatória E[g(X)] = integral-infty^infty g(x),fX(x),dx .”
Conteúdo: distribuição Normal, transformação pela função valor absoluto, cálculo de esperança (integral sobre a densidade) e variância.
O que vamos precisar:
  • A densidade da Normal:
  • A definição de esperança para variável contínua:
  • A propriedade de simetria da Normal centrada (0): integrais ímpares viram zero e podemos usar o fato de que .

Passo 2

Calcular E(|X|) = integral-infty^infty |x|,fX(x),dx . Pela definição:
E(|X|) = 2integral0^infty x;1sigmaraiz2pi,exp!l(-x^22sigma^2r),dx
Como a densidade é simétrica e é par, isso vira duas vezes a integral de 0 a :

Passo 3

Agora focamos na integral
integral0^infty x,exp!l(-tfracx^22sigma^2r),dx
Fazendo a substituição
u = x^22sigma^2 Longrightarrow du = xsigma^2,dx Longrightarrow x,dx = sigma^2,du,
os limites integral0^infty x,e^-x^22sigma^2,dx = sigma^2integral0^infty e^-u,du = sigma^2l[-e^-ur]0^infty = sigma^2 e E(|X|) = 2;1sigmaraiz2pi;sigma^2 = 2sigmaraiz2pi = sigmaraiz2pi . Logo
Voltando em :

Passo 4

Para a variância, lembramos que
Var(|X|) = El(|X|^2r) - l(E(|X|)r)^2
Mas El(|X|^2r) = sigma^2 , e para sabemos . Então

Passo 5

Agora é só juntar:
Var(|X|) = sigma^2 - l(sigmaraiztfrac2pir)^2 = sigma^2 - sigma^22pi = sigma^2l(1 - tfrac2pir)

Resposta

Esperança: .
Variância:

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