Seja
. Determine a esperança e a variância da seguinte v.a.:
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz: “Seja
. Determine a esperança e a variância da variável aleatória
.”
Conteúdo: distribuição Normal, transformação pela função valor absoluto, cálculo de esperança (integral sobre a densidade) e variância.
O que vamos precisar:
Conteúdo: distribuição Normal, transformação pela função valor absoluto, cálculo de esperança (integral sobre a densidade) e variância.
O que vamos precisar:
- A densidade da Normal:
- A definição de esperança para variável contínua:
- A propriedade de simetria da Normal centrada (0): integrais ímpares viram zero e podemos usar o fato de que
.
Passo 2
Calcular
. Pela definição:
Como a densidade é simétrica e
é par, isso vira duas vezes a integral de 0 a
:
Passo 3
Agora focamos na integral
Fazendo a substituição
os limites
e
. Logo
Voltando em
:
Passo 4
Para a variância, lembramos que
Mas
, e para
sabemos
. Então
Passo 5
Agora é só juntar:
Resposta
Esperança:
.
Variância:
Variância: