Sejam
e
v.a.s i.i.d., cada uma com distribuição
e seja
. Calcule a esperança e a variância de
Passo 1
O enunciado pede para U₁ e U₂ serem variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas como Exp(λ), e Y = max{U₁,U₂}. A matéria envolve distribuição de máximos, CDF/PDF, expectativa e variância. Para resolver vamos usar:
- A propriedade de independência para obter a CDF de Y.
- A relação entre CDF e PDF (derivada).
- A fórmula da esperança via integral de cauda:
- A fórmula do segundo momento e depois Var(Y)=E[Y²]–(E[Y])².
Passo 2
Encontrando a CDF de Y:
Como U₁,U₂ são independentes,
Como U₁,U₂ são independentes,
A PDF é a derivada:
Passo 3
Calculando
via integral de cauda:
Então
Sabendo que
, vem
Passo 4
Calculando
também pela integral de cauda:
Como
,
Passo 5
Agora a variância: