Sejam U1 e U2 v.a.s i.i.d., cada uma com distribuição Exp(lambda) e seja Y=max U1, U2. Calcule a esperança e a variância de Y

Passo 1

O enunciado pede para U₁ e U₂ serem variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas como Exp(λ), e Y = max{U₁,U₂}. A matéria envolve distribuição de máximos, CDF/PDF, expectativa e variância. Para resolver vamos usar:
  • A propriedade de independência para obter a CDF de Y.
  • A relação entre CDF e PDF (derivada).
  • A fórmula da esperança via integral de cauda: E[Y]=integral0^inftyP(Y>y),dy
  • A fórmula do segundo momento e depois Var(Y)=E[Y²]–(E[Y])².

Passo 2

Encontrando a CDF de Y:
Como U₁,U₂ são independentes,
FY(y)=P(Y<= y)=P(U1<= y,;U2<= y) =l(1-e^-lambda yr),l(1-e^-lambda yr) =(1-e^-lambda y)^2, y>=0
A PDF é a derivada:
fY(y)=ddyFY(y) =2l(1-e^-lambda yr),e^-lambda y,lambda =2lambda,e^-lambda yl(1-e^-lambda yr)

Passo 3

Calculando P(Y>y)=1-FY(y)=1-(1-e^-lambda y)^2 =2e^-lambda y-e^-2lambda y via integral de cauda:
E[Y] =integral0^inftyP(Y>y),dy =integral0^inftyl(2e^-lambda y-e^-2lambda yr)dy =2integral0^inftye^-lambda ydy -integral0^inftye^-2lambda ydy
Então
E[Y]=2lambda-12lambda=4-12lambda=32lambda
Sabendo que , vem

Passo 4

Calculando E[Y^2] =integral0^infty2y,P(Y>y),dy =integral0^infty2yl(2e^-lambda y-e^-2lambda yr)dy =4integral0^inftyy,e^-lambda ydy -2integral0^inftyy,e^-2lambda ydy também pela integral de cauda:
E[Y^2]=4lambda^2-2(2lambda)^2 =4lambda^2-24lambda^2 =8-12lambda^2=72lambda^2
Como ,

Passo 5

Agora a variância:
Var(Y)=E[Y^2]-(E[Y])^2 =72lambda^2-l(32lambdar)^2 =72lambda^2-94lambda^2 =14-94lambda^2 =54lambda^2

Resposta

boxedE[Y]=32lambda, Var(Y)=54lambda^2

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